대학수학 면적분 문제인데 잘 모르겠습니다.
이런 문제인데 잘 모르겠습니다. 극좌표로 변환해서 시도하고 있긴 한데 식이 너무 복잡해져서 이게 아닌가 싶은데, 그러면 다른 방법이 뭐가 있는지 모르겠습니다. 극좌표로 가능한지, 아니면 다른 방법이 있을까요?
안녕하세요.
표면 적분을 요구하는 문제입니다. 주어진 함수 f(x, y, z) = x² + y²를 곡면 S 위에서 적분해야 합니다. 곡면 S는 y = 4 - x² - z²이며 0 ≤ y ≤ 4입니다.
곡면파라미터화 :
이 문제에서 곡면 S는 원뿔의 일부분이며, x² + y²이 y에 의존적으로 변화하는 형태입니다. 파라미터화를 x = r cos(θ), z = r sin(θ), y = 4 - r²로 설정할 수 있습니다. 여기서 r은 원의 반지름이고 θ는 각도입니다.
표면 요소 dS 계산 :
표면적분을 계산하기 위해서는 표면 요소 dS를 계산해야 합니다. 곡면 S와 x와 z에 대해 파라미터화 했으므로, dS는 다음과 같이 계산할 수 있습니다 :
dS = √(1 + (∂x/∂y)² + (∂z/∂y)²) dx dz
미분을 하면,∂x/∂y = -2x, ∂z/∂y = -2z
따라서,
dS = √(1 + (2x)² + (2z)²) dx dz
파라미터 x와 z를 위의 r과 θ로 대입하면,
dS = √(1 + 4r²) r dr dθ
표면적분 계산 :
곡면 위의 함수 f(x, y, z) = x² + y²를 파라미터화한 식으로 변환하고 dS와 곱하여 적분합니다.
∫ from 0 to 2π ∫ from 0 to 2 of (r² cos²(θ) + (4 - r²)²) sqrt(1 + 4r²) r dr dθ
이 적분은 먼저 r에 대해, 그리고 θ에 대해 수행합니다.
이 과정을 따라 계산하면 원하는 표면적분의 값을 구할 수 있습니다.