단위원에서 Tan90° 해석: 직관 vs. 한계값 접근 방식의 차이 이해
1. 직관적 접근:
단위원에서 각도 90°는 x축 양의 방향과 일치합니다. 이때, 직관적으로 기울기를 생각하면 무한대라고 생각하기 쉽습니다. 왜냐하면 y축 방향으로는 어떤 변화도 없이 x축 방향으로 무한대로 늘어나기 때문입니다.
따라서 Tan90°는 sin90°/cos90° = 1/0으로 정의될 수 없고, 미정의라고 해석하는 것이 직관적으로 자연스럽습니다.
2. 한계값 접근:
하지만 삼각함수는 각도의 변화에 따른 변화율을 나타내는 함수이기 때문에, 각도 변화량에 대한 한계값으로 해석하는 것이 수학적으로 정확합니다.
단위원에서 각도를 90°에 가까워지도록 변화시킬 때, 분자(sinθ)는 1에 가까워지고 분모(cosθ)는 0에 가까워집니다.
만약 각도 90°까지 도달한다고 가정하면, 분자는 1이 되고 분모는 0이 됩니다.
수학적으로는 분모가 0이 되는 경우는 정의되지 않지만, 한계값 개념을 이용하면 각도가 90°에 가까워질수록 Tanθ 값은 무한대에 가까워진다고 해석할 수 있습니다.
따라서 Tan90°는 극한값으로 ∞라고 정의합니다.
3. 모순 해소:
분모를 cos0°로 고정하고 중심각을 90°까지 벌린다는 주장은 오류입니다.
각도가 90°에 가까워질수록 cosθ 값은 0에 가까워지지만, 정확히 0이 되는 것은 아닙니다.
따라서 분모는 항상 0이 되지 않고, 0에 아주 가까운 작은 값을 유지합니다.
따라서 Tan90° 계산 과정에서 분모가 0이 된다는 모순은 발생하지 않습니다.