수학에서 tan 90° 가 이해가 안가요?
반지름이 1인 단위원에서 tan90°를 구합니다. 직관적으로 tan90° = sin90°/cos90° = 1/0이므로 불능이 되는데요. 그런데 단위원을 사용하여 분모를 1로 고정하고 중심각을 90도까지 벌리면 결국 분자 사인값은 무한대가 되어 즉 무한대/1이 되어 발산한다는 설명이 많은데요. 탄젠트의 정의는 결국 기울기인데 직관적으로 생각하는 값과 후자의 값이 다른데, 후자의 경우 분모를 cos0°로 고정하고 중심각을 90도까지 벌려서 모순 아닌가요? 즉 코사인값은 cos0°= 1, 사인값은 sin90°로 계산하는 셈인데, 이래도 되는지 궁금합니다.
안녕하세요. 김민규 전문가입니다.
결국 0 나누기 1 을 설명하기 위한 과정이기 때문에 무한대가 맞습니다. Sin 90 와 Tan 90 은 실제로는 구현이 되지 않는 삼각형이기도 하니깐요.
안녕하세요. 김상규 전문가입니다.
말씀대로 탄젠트 90도는
정의에 따르면 분모가 0인 나눗셈 값이기에
수학적으로 정의는 되지 않습니다.
다만
극한의 개념에서 바라본다면
90도보다 큰 각도에서
90도에 가까워 질수록
음의 무한대로 발산하고
90도보다 작은 각에서
90도에 가까워 질 수록
양의 무한대로 발산한다고 볼 수 있는데요.
숫자라는 것이 상태를 나타내는 것은 아니기에
있다 없다. 무한대다 등의 부분은
사실 어느부분을 고정하고 생각하는 것이 편합니다.
길이도 따져본다면
최소의 단위가 있을 수 있는가? 라는 개념으로 보면
쪼개고 쪼개도 있는건 없어질 수 없기에
최소단위가 있을 수 없으나
실질적으로 물리학에서는
플랑크 길이라고 하여
길이의 최소단위가 있으며 ( 플랑크길이 1.62 x 10-35제곱)
이 보다 짧은 길이의 공간에서는 물리 법칙이 성립하지 않습니다.
그렇게 본다면.. 속도도 선형적이라기 보다는
계단식으로 증가한다고 볼 수 있겠지요.
단위원에서 Tan90° 해석: 직관 vs. 한계값 접근 방식의 차이 이해
1. 직관적 접근:
단위원에서 각도 90°는 x축 양의 방향과 일치합니다. 이때, 직관적으로 기울기를 생각하면 무한대라고 생각하기 쉽습니다. 왜냐하면 y축 방향으로는 어떤 변화도 없이 x축 방향으로 무한대로 늘어나기 때문입니다.
따라서 Tan90°는 sin90°/cos90° = 1/0으로 정의될 수 없고, 미정의라고 해석하는 것이 직관적으로 자연스럽습니다.
2. 한계값 접근:
하지만 삼각함수는 각도의 변화에 따른 변화율을 나타내는 함수이기 때문에, 각도 변화량에 대한 한계값으로 해석하는 것이 수학적으로 정확합니다.
단위원에서 각도를 90°에 가까워지도록 변화시킬 때, 분자(sinθ)는 1에 가까워지고 분모(cosθ)는 0에 가까워집니다.
만약 각도 90°까지 도달한다고 가정하면, 분자는 1이 되고 분모는 0이 됩니다.
수학적으로는 분모가 0이 되는 경우는 정의되지 않지만, 한계값 개념을 이용하면 각도가 90°에 가까워질수록 Tanθ 값은 무한대에 가까워진다고 해석할 수 있습니다.
따라서 Tan90°는 극한값으로 ∞라고 정의합니다.
3. 모순 해소:
분모를 cos0°로 고정하고 중심각을 90°까지 벌린다는 주장은 오류입니다.
각도가 90°에 가까워질수록 cosθ 값은 0에 가까워지지만, 정확히 0이 되는 것은 아닙니다.
따라서 분모는 항상 0이 되지 않고, 0에 아주 가까운 작은 값을 유지합니다.
따라서 Tan90° 계산 과정에서 분모가 0이 된다는 모순은 발생하지 않습니다.