고민상담
수학 문제좀 풀어주세요 기하 문제에요ㅠ
기하 문제 제가 푼 풀이 중에서 틀린 거나 고칠 내용 있나요? 서술형을 써야해서ㅠ 오타나 틀린 거 찾아주세요ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
1개의 답변이 있어요!
학생이 올린 문제 사진 속 문항은 **2022학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 기하 30번** 기출문제입니다. 변형 없이 그대로 출제된 서술형 평가 같은데, 학생이 작성한 풀이 노트를 기반으로 서술형에서 감점당하기 쉬운 요소를 꼼꼼하게 짚어 드릴게요.
## 1. 문제 핵심 정보 및 조건 분석
* **기본 도형:** AB = AC = 8\sqrt{5}, BC = 16 인 이등변삼각형 ABC
* **조건 (가):** (\vec{PB} + \vec{PQ}) \cdot \vec{BC} = (\vec{RC} + \vec{RQ}) \cdot \vec{BC} = 0
* 이는 $\vec{PB} + \vec{PQ}$와 $\vec{RC} + \vec{RQ}$가 각각 $\vec{BC}$와 수직임을 뜻합니다.
* 중점 조건을 활용해 변형하면, 선분 BQ의 중점을 M_1, 선분 CQ의 중점을 M_2라 할 때 \vec{PM_1} \perp \vec{BC} 이고 \vec{RM_2} \perp \vec{BC} 임을 도출해야 합니다.
* **조건 (나):** \vec{QP} \cdot \vec{QR} = |\vec{QP}|^2
* 이 식은 \vec{QP} \cdot (\vec{QR} - \vec{QP}) = 0 \rightarrow \vec{QP} \cdot \vec{PR} = 0 으로 정리되므로, **\angle QPR = 90^\circ (직각)**이라는 핵심 기하학적 성질을 가집니다.
## 2. 학생 풀이 노트의 치명적인 오류 및 오타 점검 (Screenshot_20260610_234453.jpg 좌측 사진 기준)
학생이 나름대로 벡터를 분해해서 열심히 풀었지만, **학교 서술형 채점 기준이라면 심각하게 감점되거나 오답 처리될 수 있는 부분**들이 보입니다.
### ① 벡터 기호(\vec{})의 누락 (가장 큰 감점 요인)
* **문제점:** 학생의 풀이 중간부터 보면 PB + PQ ⊥ BC, k^2 = ... 등을 적으면서 **벡터 화살표 기호(\vec{})를 거의 생략하고 단순 선분이나 스칼라 값처럼 서술**했습니다.
* **교정 방향:** 벡터의 내적과 수직 조건을 서술할 때는 반드시 기호 위에 화살표(\vec{AB}) 또는 굵은 글씨 표시를 명확히 해야 합니다. 기호 누락은 서술형에서 100% 감점 대상입니다.
### ② 조건 (나)의 해석 오류 (수식 전개 미흡)
* **문제점:** 풀이 셋째 줄 근처에서 조건 (나)를 전개할 때, 수식 연산 과정에서 성분이나 크기 계산으로 넘어가는 이행 단계가 논리적으로 매끄럽지 않고 뭉뚱그려져 있습니다.
* **교정 방향:** \vec{QP} \cdot \vec{QR} - |\vec{QP}|^2 = 0 \rightarrow \vec{QP} \cdot (\vec{QR} - \vec{QP}) = 0 \rightarrow \vec{QP} \cdot \vec{PR} = 0 임을 명시하여 **"따라서 \triangle PQR은 \angle P = 90^\circ인 직각삼각형이다"**라는 결론을 명확한 문장으로 적어주어야 합니다.
### ③ 마지막 구하는 값 X의 자취 해석 불분명
* **문제점:** |3\vec{XP} + \vec{XR}| = |\vec{PR}| 을 만족하는 점 X에 대해 $|\vec{BX}|$의 최댓값 M과 최솟값 m을 구하는 과정에서, 시점을 일치시키거나 내분점을 잡는 서술이 빈약합니다. 식을 4로 나누어 내분점 D를 잡는 과정(3P + R / 4 형태)을 갈겨써서 채점자가 알아보기 힘듭니다.
* **교정 방향:** 3\vec{XP} + \vec{XR} = 4\vec{XD} (단, 점 D는 선분 PR을 1:3으로 내분하는 점)으로 치환하는 과정을 깔끔하게 서술해야 합니다. 그러면 식은 |4\vec{XD}| = |\vec{PR}| \rightarrow |\vec{XD}| = \frac{1}{4}|\vec{PR}| 이 되므로, **"점 X는 점 D를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\frac{1}{4}|\vec{PR}|$인 원 위의 점이다"**라고 자취를 정확히 정의해 주어야 합니다.
## 3. 답변 채택을 위한 추천 코멘트 작성 팁
지식인에서 '답변 점수 2배'를 걸고 다급하게 물어보는 학생이므로, 아래와 같은 어조로 친절하게 핵심을 짚어주면 무조건 채택을 받을 수 있습니다.
> **[지식인 답변 추천 문구]**
> 안녕하세요! 질문하신 문제는 **2022학년도 9월 모평 기하 30번** 난이도 높은 문항이네요. 풀이 방향을 아주 잘 잡으셨지만, 학교 서술형 평가 기준으로는 **감점될 위험이 큰 요소들**이 보여서 짚어드립니다!
> 1. **벡터 기호 누락:** 풀이 중간 과정에서 \vec{PB} 등의 화살표 기호(\vec{})를 생략하고 알파벳만 쓰셨는데, 서술형에서는 크기(선분)와 벡터를 엄격히 구분하므로 반드시 화살표를 다 붙여주셔야 감점이 없습니다.
> 2. **조건 (나) 말로 풀어서 기술하기:** \vec{QP} \cdot \vec{PR} = 0을 유도한 뒤, 단순히 수식만 두지 마시고 **"따라서 \angle QPR = 90^\circ인 직각삼각형이다"**라는 기하학적 성질을 한 줄 적어주셔야 채점자가 출제 의도를 파악했다고 인정합니다.
> 3. **점 X의 자취 명시:** 마지막 조건에서 선분 PR의 1:3 내분점을 D라고 명명한 뒤, **"점 X는 점 D를 중심으로 하는 원이다"**라는 핵심 자취 문장을 추가해 주세요.
> 계산 과정에서 숫자 흐름은 맞으나 기호와 서술 문장이 부족하니 이 부분을 보완하시면 만점을 받으실 수 있을 겁니다. 화이팅하세요!
>
혹시 이 문제의 최종 정답 도출을 위한 구체적인 수식 계산(최댓값 M과 최솟값 m의 곱) 과정까지 완벽한 텍스트로 필요하시다면 언제든 말씀해 주세요. 바로 풀어서 정리해 드리겠습니다!