답변 내역

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.나머지정리와 인수정리는 사실 하나의 아이디어에서 나온 형제 같은 거예요. 둘을 따로 외우려 하면 헷갈리는데, 연결해서 보면 한 번에 잡혀요.먼저 나머지정리부터 볼게요. 어떤 다항식을 일차식으로 나눴을 때 나머지가 뭔지를 나눗셈 안 하고 바로 알아내는 방법이에요. 핵심은 이거예요. 다항식 f(x)를 x 빼기 a로 나눈 나머지는 f(a)와 같아요. 그러니까 나누는 식을 0으로 만드는 x값을 원래 다항식에 그냥 대입하면 그게 곧 나머지인 거예요.왜 이렇게 되는지 보면 의외로 단순해요. 나눗셈을 식으로 쓰면 f(x)는 x 빼기 a 곱하기 몫 더하기 나머지로 표현돼요. 여기서 x 자리에 a를 넣으면 앞부분의 x 빼기 a가 a 빼기 a라서 0이 되거든요. 그러면 앞 항이 통째로 사라지고 나머지만 딱 남아요. 그래서 f(a)가 곧 나머지가 되는 거예요. 예를 들어 어떤 식을 x 빼기 2로 나눈 나머지가 궁금하면 그냥 원래 식에 2를 넣어서 나온 값이 나머지예요. 복잡한 나눗셈을 안 해도 되니까 엄청 편하죠.이제 인수정리는 여기서 한 발짝만 더 가면 돼요. 나머지정리에서 만약 나머지가 0이 나오면 어떻게 될까요? 나머지가 0이라는 건 딱 나누어떨어진다는 뜻이잖아요. 그러니까 f(a)가 0이면 그 다항식은 x 빼기 a로 나누어떨어지고, 바꿔 말하면 x 빼기 a가 그 식의 인수라는 거예요. 이게 인수정리예요. f(a)가 0이면 x 빼기 a가 인수다, 이 한 줄이 전부예요.둘의 관계를 정리하면 이래요. 나머지정리는 나머지가 얼마인지를 알려주는 거고, 인수정리는 그 나머지가 0인 특수한 경우를 다루는 거예요. 나머지가 0일 때만 인수가 되니까, 인수정리는 나머지정리의 특별한 한 경우인 셈이에요. 형제라고 한 게 이 때문이에요.인수정리가 진짜 위력을 발휘하는 건 고차식을 인수분해할 때예요. 삼차식 같은 건 공식으로 한 번에 인수분해하기 어려운데, 인수정리를 쓰면 식에 1, 마이너스 1, 2 같은 간단한 숫자를 하나씩 넣어봐요. 그러다 결과가 0이 나오는 값을 찾으면, 예를 들어 f(1)이 0이면 x 빼기 1이 인수라는 걸 바로 알 수 있거든요. 그렇게 인수 하나를 찾아내면 나눗셈으로 나머지를 쪼개서 인수분해를 완성하는 거예요.정리하면 나누는 식을 0으로 만드는 값을 대입한다는 하나의 동작에서 출발해서, 그 결과값이 나머지면 나머지정리, 그 값이 0이라 인수가 되면 인수정리예요. 이 연결고리만 잡으면 두 개가 따로 노는 게 아니라 한 덩어리로 보일 거랍니다 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.반도체 공정을 전공정과 후공정으로 나눠서, 관련 기업과 왜 후공정이 부상하는지까지 짚어드릴게요. 다만 주식의 대장주라는 건 시장 상황에 따라 계속 바뀌고 투자 판단의 영역이라, 어느 종목이 대장주다라고 단정하기보다 각 영역에서 핵심 역할을 하는 대표 기업들을 소개하는 쪽으로 설명드릴게요.먼저 공정 구분부터 보면, 전공정은 웨이퍼 위에 회로를 새겨 칩을 만드는 단계예요. 노광, 식각, 증착 같은 과정을 반복해 회로를 층층이 쌓는 거죠. 후공정은 완성된 칩을 잘라내고 외부와 연결하고 포장하는 단계예요. 흔히 패키징과 테스트라고 부르는 부분이에요.전공정 쪽 대표 기업을 보면, 칩을 직접 만드는 종합 반도체 회사로는 삼성전자와 SK하이닉스가 국내 양대 축이에요. 해외로는 대만의 TSMC가 위탁생산 분야 세계 1위이고, 미국의 인텔과 마이크론도 핵심 기업이에요. 전공정 장비 쪽에서는 노광 장비를 독점하다시피 하는 네덜란드의 ASML이 가장 유명하고, 미국의 어플라이드 머티리얼즈와 램리서치, 일본의 도쿄일렉트론이 장비 시장을 주도해요. 국내에서는 증착이나 식각 장비를 만드는 기업들이 여기에 속해요.후공정 쪽은 패키징과 테스트를 전문으로 하는 회사들이 있어요. 세계적으로는 대만의 ASE가 후공정 위탁 분야 1위이고, 미국의 앰코도 큰 기업이에요. 국내에는 패키징과 테스트를 전문으로 하는 외주 기업들과, 후공정용 소재나 장비를 만드는 회사들이 있어요. 최근에는 HBM 같은 첨단 패키징 수요가 늘면서 이쪽 기업들이 크게 주목받고 있어요.이제 왜 후공정이 점점 중요해지냐는 질문이 핵심인데, 이유가 분명해요. 지금까지 반도체 성능을 끌어올리는 방법은 전공정에서 회로를 더 작게 그리는 미세화였어요. 그런데 회로 선폭이 원자 몇 개 수준까지 좁아지면서 더 줄이기가 물리적으로 너무 어렵고 비용도 폭발적으로 늘어났거든요. 미세화만으로 성능을 높이는 시대가 한계에 다다른 거예요.그래서 떠오른 대안이 후공정이에요. 칩 하나를 더 정교하게 만드는 대신, 여러 개의 칩을 효율적으로 묶어서 하나처럼 작동하게 만드는 방향으로 가고 있어요. 칩을 위로 쌓거나 옆으로 촘촘히 연결하는 첨단 패키징 기술이 핵심이죠. AI 반도체에 들어가는 HBM이 대표적인데, 메모리 칩을 수직으로 쌓아 올려 데이터 전송 속도를 끌어올리는 게 전부 후공정 기술이거든요. 예전에는 후공정이 단순 조립으로 여겨졌지만, 이제는 패키징 방식이 칩 전체 성능을 좌우하는 핵심 경쟁력이 된 거예요.정리하면 전공정은 여전히 반도체의 기반이지만, 미세화의 한계 때문에 성능 향상의 무게중심이 후공정으로 옮겨가고 있는 거예요. 칩을 작게 만드는 경쟁에서 칩을 잘 엮는 경쟁으로 전장이 넓어졌다고 보시면 정확하답니다. 다만 구체적인 투자나 종목 선택은 시장 흐름과 기업 실적을 직접 확인하면서 신중하게 판단하시는 게 좋아요 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.리만 가설은 밀레니엄 7대 난제 중에서도 가장 어렵기로 손꼽히는 문제예요. 160년 넘게 수많은 천재 수학자들이 매달렸는데도 아직 풀리지 않았거든요. 질문하신 것들을 하나씩 짚어볼게요.먼저 도구조차 없다는 말이 진짜냐면, 어느 정도 사실이에요. 리만 가설은 소수가 어떤 규칙으로 분포하는지에 관한 문제인데, 리만이라는 수학자가 제타 함수라는 걸 이용해 소수의 비밀이 특정한 직선 위에 모두 놓여 있을 거라고 예측했어요. 문제는 이 예측이 맞다는 걸 증명하려면 지금의 수학으로는 닿지 않는 영역을 다뤄야 한다는 거예요. 컴퓨터로 수조 개의 사례를 확인해봤더니 전부 예측대로였지만, 수학에서는 아무리 많은 예시가 맞아도 그건 증명이 아니거든요. 단 하나의 예외도 없다는 걸 논리로 보여야 하는데, 그걸 해낼 수단이 아직 인류에게 없는 거예요.왜 도구가 안 만들어지냐면, 리만 가설이 수학의 여러 분야가 깊은 곳에서 얽히는 지점에 있기 때문이에요. 정수론, 복소해석학, 심지어 양자물리학과도 연결된다는 단서가 발견되고 있어요. 이렇게 여러 영역이 교차하는 문제는 한 분야의 기술만으로는 풀 수 없고, 아예 새로운 수학 자체가 탄생해야 풀릴 가능성이 높아요. 과거에 페르마의 마지막 정리가 풀릴 때도 전혀 다른 분야를 잇는 새 이론이 필요했던 것처럼요. 그 새로운 수학이 아직 나타나지 않은 거예요.왜 그렇게까지 풀려고 하느냐면, 소수가 현대 사회의 핵심이기 때문이에요. 소수는 인터넷 보안과 암호의 근간이거든요. 우리가 쓰는 거의 모든 암호가 큰 수를 소수로 쪼개기 어렵다는 성질에 기대고 있어요. 리만 가설이 풀려서 소수의 분포를 완벽하게 이해하게 되면 소수를 다루는 방식이 근본적으로 바뀔 수 있어요. 게다가 순수하게 학문적으로도 소수는 수학의 가장 기본 재료라, 그 분포 법칙을 안다는 건 수학의 뿌리를 이해하는 것과 같아요.마지막으로 다른 난제가 쉬워진다는 것도 사실이에요. 이게 리만 가설의 가장 무서운 점이에요. 수많은 수학 정리들이 리만 가설이 참이라면이라는 가정을 깔고 세워져 있거든요. 리만 가설이 맞다고 믿고 그 위에 쌓아 올린 결과가 수백, 수천 개에 달해요. 그래서 리만 가설이 증명되는 순간 이 가정에 의존하던 정리들이 한꺼번에 확정된 사실로 바뀌어요. 반대로 만약 틀린 것으로 판명되면 그 위에 지은 수학이 와르르 무너지고요. 그만큼 수학이라는 건물의 핵심 기둥 같은 존재라, 수학자들이 그토록 매달리는 거랍니다.쉽게 비유하면 리만 가설은 모두가 옳다고 믿고 그 위에 집을 지었지만 아직 아무도 기초가 단단한지 확인하지 못한 땅과 같아요. 확인하는 순간 그 위의 모든 집이 안전하다고 보증되는 셈이라, 도전할 가치가 충분한 거랍니다 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.질화붕소나노튜브의 구조부터 정리하고 쌍극자 이야기로 넘어갈게요. 결론을 미리 말하면 무극성에 가깝다는 표현은 절반만 맞아서, 어디까지 맞고 어디서부터 조심해야 하는지가 핵심이에요.BNNT는 탄소나노튜브와 똑 닮은 구조예요. 탄소나노튜브가 탄소 원자로 된 육각형 벌집 그물을 둥글게 만 거라면, BNNT는 그 자리에 붕소와 질소가 번갈아 들어간 거예요. 탄소 두 개가 있던 자리를 붕소 하나와 질소 하나가 대신 채운 셈이죠. 그래서 육각형 하나하나가 붕소와 질소가 교대로 꼭짓점을 이루는 구조이고, 이게 원통형으로 말려 튜브가 돼요.여기서 중요한 게 붕소와 질소의 성질 차이예요. 질소는 전자를 끌어당기는 힘인 전기음성도가 붕소보다 훨씬 커요. 그래서 붕소와 질소가 결합하면 공유한 전자가 질소 쪽으로 치우쳐요. 질소는 살짝 음전하를, 붕소는 살짝 양전하를 띠는 거예요. 이렇게 결합 하나하나가 전하의 치우침, 즉 쌍극자를 가지게 돼요. 탄소나노튜브는 같은 원자끼리 결합이라 이런 치우침이 아예 없는데, BNNT는 결합 단위에서부터 극성을 띤다는 게 결정적인 차이예요.이제 질문하신 부분이에요. 육각형 대칭 때문에 쌍극자가 상쇄된다는 건 전체 분자를 멀리서 봤을 때의 이야기로는 맞아요. 육각형 안에서 붕소에서 질소로 향하는 결합들이 사방으로 대칭을 이루며 배치돼 있어서, 튜브 전체로 보면 이 쌍극자들이 서로 방향을 상쇄해 알짜 쌍극자 모멘트가 거의 0에 가까워지거든요. 그래서 튜브 전체가 한쪽으로 쏠린 큰 극성을 띠지는 않아요. 이 점에서는 무극성에 가깝다고 볼 여지가 있어요.다만 무극성 분자라고 딱 잘라 말하는 건 조심하셔야 해요. 전체 쌍극자가 상쇄됐다는 것과 결합 자체가 무극성이라는 건 다른 이야기거든요. BNNT는 국소적으로는 분명히 극성 결합을 품고 있어요. 그래서 표면이 부분적으로 전하를 띠고, 이 성질 때문에 특정 분자와 잘 달라붙거나 물에 대한 친화성이 탄소나노튜브와 다르게 나타나요. 또 튜브를 어떻게 마느냐에 따라, 또는 양 끝부분에서는 대칭이 완벽하게 맞지 않아서 부분적인 극성이 살아 있기도 해요. 실제로 BNNT가 압력을 받으면 전기를 만들어내는 압전 성질을 보이는 것도 이 국소적 극성 덕분이에요. 완전한 무극성이라면 이런 성질이 나올 수가 없거든요.그래서 정확하게 표현하면, BNNT는 전체적으로는 알짜 쌍극자가 상쇄되어 비극성에 가깝게 행동하지만, 결합 수준에서는 명백히 극성을 띠는 부분 극성 물질이라고 하는 게 맞아요. 무극성 분자라고 단정하기보다 전체와 국소를 나눠서 설명하시면 훨씬 정확한 답이 되요이 차이 덕분에 BNNT는 탄소나노튜브와 생김새는 같아도 전기적으로는 완전히 달라요. 탄소나노튜브가 도체나 반도체로 행동하는 것과 달리 BNNT는 구조와 상관없이 항상 전기를 안 통하는 절연체이고 밴드갭이 아주 크거든요. 열에는 강하고 전기는 막아주는 이 조합이 BNNT만의 매력이랍니다 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.오일러 등식이라고 불리는 그 식, 정말 아름답죠. e의 i파이 제곱이 아니라 e의 i파이 승, 그러니까 지수에 i파이가 올라간 거예요. 이게 왜 마이너스 1이 되는지 핵심 아이디어만 풀어드릴게요. 엄밀한 증명은 대학 수학이 필요하지만 흐름은 충분히 이해하실 수 있어요.출발점은 오일러 공식이에요. e의 ix승이 코사인 x 더하기 i 사인 x와 같다는 식인데, 이게 모든 것의 열쇠예요. 지수에 허수가 올라가면 거듭제곱이 회전운동으로 바뀌거든요. 이걸 증명하는 가장 깔끔한 방법은 테일러 급수라는 도구예요.테일러 급수는 어떤 함수를 무한히 더하는 다항식으로 펼치는 방법이에요. e의 x승, 사인 x, 코사인 x 이 세 함수를 각각 급수로 펼쳐놓을 수 있는데, 신기한 일이 벌어져요. e의 x승을 펼친 식에서 x 자리에 ix를 넣으면, i가 곱해지면서 항들이 두 갈래로 갈라지거든요. i가 안 붙은 항들끼리 모으면 정확히 코사인 x의 급수가 되고, i가 붙은 항들끼리 모으면 사인 x의 급수가 돼요. 그래서 e의 ix승이 코사인 x 더하기 i 사인 x로 정리되는 거예요. 서로 따로 놀던 지수함수와 삼각함수가 허수를 통해 한 몸이라는 게 드러나는 순간이에요.이제 이 공식의 x 자리에 파이를 넣어볼게요. e의 i파이승은 코사인 파이 더하기 i 사인 파이가 돼요. 여기서 코사인 파이는 마이너스 1이고 사인 파이는 0이에요. 그러니까 e의 i파이승은 마이너스 1 더하기 i 곱하기 0, 결국 마이너스 1이 되는 거예요. 여기에 1을 더하면 0이 되니까 e의 i파이승 더하기 1은 0이라는 등식이 완성되는 거랍니다.기하학적으로 보면 더 직관적이에요. e의 ix승은 복소평면에서 반지름 1인 원 위의 점을 가리키고, x는 그 점이 돈 각도예요. x에 파이를 넣는다는 건 반 바퀴, 즉 180도를 돌린다는 뜻이에요. 시작점인 1에서 반 바퀴 돌면 정확히 반대편인 마이너스 1에 도착하잖아요. 그래서 e의 i파이승이 마이너스 1인 거예요. 거듭제곱이 회전이 된다는 게 이렇게 그림으로도 맞아떨어지는 거죠.이 식이 아름답다고 불리는 이유는 수학에서 가장 중요한 다섯 개의 수가 한 줄에 모이기 때문이에요. 자연로그의 밑 e, 허수 i, 원주율 파이, 곱셈의 기준인 1, 그리고 0이 군더더기 없이 딱 한 식에 담기거든요. 서로 전혀 다른 곳에서 태어난 숫자들이 이렇게 단순한 관계로 묶인다는 게, 많은 수학자들이 세상에서 가장 아름다운 식으로 꼽는 이유랍니다 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.이 질문은 수학자와 철학자들이 수천 년 동안 답을 못 내고 지금도 논쟁 중인 주제예요. 그만큼 양쪽 다 만만치 않은 근거가 있어서, 어느 한쪽이 정답이라고 딱 잘라 말하긴 어려워요. 양쪽 입장을 짚어드릴게요.발견이라고 보는 쪽은 수학적 진리가 인간과 무관하게 원래부터 존재한다고 봐요. 우리가 만들기 전에도 1 더하기 1은 2였고, 원의 둘레와 지름의 비율인 파이는 우주 어디서나 같은 값이었다는 거예요. 외계 문명이 있다면 기호는 다르게 쓰더라도 소수나 피타고라스 정리 같은 건 똑같이 발견했을 거라는 논리예요. 인간은 그저 이미 존재하는 진리를 찾아낸 탐험가일 뿐이라는 입장이죠. 플라톤이 이런 생각의 대표 주자라 이 관점을 수학적 플라톤주의라고 불러요.발명이라고 보는 쪽은 수학이 인간이 만든 언어이자 도구라고 봐요. 숫자도 기호도 규칙도 전부 사람이 약속해서 정한 거라는 거예요. 예로 드신 0이 좋은 사례예요. 0은 아무것도 없음을 숫자로 다루자고 인류가 발명한 개념이거든요. 고대 문명 중에는 0이 없어서 큰 수 계산에 애를 먹은 곳도 많았어요. 음수나 허수도 처음엔 말이 안 된다고 거부당하다가 필요에 의해 만들어진 거고요. 이렇게 보면 수학은 인간이 세상을 설명하려고 발명한 정교한 게임이라는 거예요.흥미로운 건 많은 수학자들이 이 둘을 섞어서 본다는 점이에요. 개념을 표현하는 기호와 방식은 분명히 발명이지만, 그 기호가 가리키는 관계나 진리 자체는 발견이라는 거죠. 예를 들어 0이라는 기호와 이름은 인간이 발명했지만, 아무것도 없는 상태가 존재한다는 사실과 그걸 다뤘을 때 성립하는 규칙들은 원래 그랬던 거라고 보는 거예요. 공식도 마찬가지로 표기법은 발명이되 그 공식이 담고 있는 수학적 사실은 발견이라는 관점이에요.정답이 없는 질문이라 오히려 자유롭게 생각해볼 수 있는 주제예요. 다만 한 가지 분명한 건, 수학이 신기할 만큼 자연을 정확하게 설명한다는 사실이에요. 순수하게 머릿속에서 만든 것 같은 수학이 나중에 물리 현상에 딱 들어맞는 일이 계속 일어나거든요. 그래서 발명이라기엔 너무 잘 맞고 발견이라기엔 너무 인위적인, 묘한 위치에 있는 게 수학이랍니다. 어느 쪽이 더 와닿으시는지 생각해보시는 것도 재미있을 거예요 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.정말 흥미로운 상상인 것 같아요 ㅋ_ㅋ 그리고 짚어주신 전제가 정확해요. 시간축이 아니라 공간이 네 번째로 하나 더 있는 4차원 공간적 존재를 말씀하시는 거고, 달걀껍질을 깨지 않고 알맹이를 꺼내는 능력이 바로 그 존재의 핵심 특징이거든요. 이걸 차원을 한 단계씩 낮춰서 생각하면 의외로 또렷하게 그려져요.먼저 차원을 하나 줄여서 2차원 세계를 상상해볼게요. 종이 위에만 사는 납작한 존재가 있다고 해봐요. 이 존재에게 원을 하나 그려서 그 안에 점을 가둬두면, 2차원 존재는 원의 둘레를 넘지 않고는 절대 점을 꺼낼 수 없어요. 그 존재에게 원의 안과 밖은 선으로 완전히 막혀 있으니까요. 그런데 3차원에 사는 우리는 그냥 위에서 손가락을 넣어 점을 집어 올리면 돼요. 2차원 존재 입장에서는 닫힌 원 안에서 점이 갑자기 사라졌다가 원 밖에 나타나는 마법처럼 보일 거예요. 우리는 그저 그들에게 없는 위쪽이라는 방향을 썼을 뿐인데 말이에요.달걀 이야기가 정확히 이 구조예요. 우리에게 달걀껍질은 안과 밖을 완전히 가르는 벽이지만, 4차원 존재에게는 우리가 모르는 네 번째 방향이 하나 더 있어요. 그 방향으로 손을 뻗으면 껍질을 전혀 건드리지 않고 안쪽 알맹이에 곧장 닿을 수 있는 거예요. 우리 눈에는 닫힌 껍질 속 노른자가 홀연히 밖으로 나타난 것처럼 보이겠죠. 2차원 존재가 우리를 마법사로 여기듯, 우리도 4차원 존재를 그렇게 볼 수밖에 없는 거예요.이런 존재가 우리를 본다면 우리 몸속까지 훤히 들여다볼 수 있어요. 우리가 종이 위 도형의 안쪽을 한눈에 다 보듯이요. 수술 없이 몸 안의 장기를 직접 만지거나, 잠긴 금고 안의 물건을 꺼내거나, 닫힌 방으로 그냥 들어오는 일이 그들에겐 너무나 당연한 일상일 거예요. 매듭으로 꽁꽁 묶인 밧줄도 손쉽게 풀 수 있고요. 매듭이라는 게 3차원에서만 안 풀리는 거라, 차원이 하나 더 있으면 스르륵 풀려버리거든요.다만 우리가 4차원 존재의 진짜 모습을 본다는 건 거의 불가능해요. 2차원 존재가 3차원 공을 볼 때 공 전체가 아니라 자기 평면과 겹치는 단면, 그러니까 원 하나만 볼 수 있는 것과 같아요. 공이 평면을 통과하면 그들에겐 점에서 시작해 원이 커졌다 작아지다 사라지는 모습으로 보일 뿐이죠. 마찬가지로 우리가 4차원 존재를 마주한다면 그 존재의 3차원 단면만 보게 될 거예요. 형체가 갑자기 나타났다 변형됐다 사라지는 기묘한 모습으로요.수학적으로 4차원은 아무 모순 없이 완벽하게 다룰 수 있는 개념이에요. 다만 3차원에 갇힌 우리 직관으로 그 안에 사는 느낌을 온전히 떠올리기가 어려울 뿐이죠. 그래서 이런 상상은 답을 내는 것보다 차원이라는 게 얼마나 신기한 개념인지를 음미하는 데 의미가 있는 거랍니다. 뜬구름 잡는 이야기가 아니라 꽤 깊은 수학적 사고예요 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.한꺼번에 다섯 개나 나오니 머리가 복잡하셨겠어요. 하나씩 정리하면 생각보다 단순해요. 그리고 마지막 질문부터 짚으면, ln은 자연로그가 맞지만 log는 상황에 따라 달라서 그 부분도 풀어드릴게요.먼저 sin cos tan은 중3 때 배운 삼각비 그대로예요. 직각삼각형에서 변의 길이 비율인 건 변하지 않았어요. 사인은 빗변분의 높이, 코사인은 빗변분의 밑변, 탄젠트는 밑변분의 높이죠. 고2에서 어려워진 건 이 개념을 삼각형 밖으로 끌고 나왔기 때문이에요. 직각삼각형 안에서는 각도가 90도보다 작아야만 했는데, 고2에서는 이걸 원 위에서 다시 정의하거든요. 반지름이 1인 원을 그려놓고 한 점이 빙글빙글 돌 때, 그 점의 높이를 사인, 가로 위치를 코사인이라고 봐요. 이렇게 하면 90도보다 큰 각도나 한 바퀴를 넘는 각도, 심지어 음수 각도까지 다룰 수 있어요. 비율이라는 본질은 같은데 무대가 삼각형에서 원으로 넓어진 거라고 이해하시면 돼요.로그는 거듭제곱을 거꾸로 푸는 도구예요. 2를 세 번 곱하면 8이 되잖아요. 이때 2를 몇 번 곱해야 8이 되느냐고 거꾸로 물어보는 게 로그예요. 답이 3이니까 로그 밑이 2인 8은 3이라고 쓰는 거예요. 쉽게 말해 밑을 몇 제곱해야 이 숫자가 나오는가를 알려주는 게 로그랍니다. 큰 수를 다루거나 곱셈을 덧셈으로 바꿔 계산할 때 위력을 발휘해서, 지진의 세기나 소리의 크기처럼 어마어마하게 큰 값을 다룰 때 쓰여요.이제 log와 ln의 차이인데, 핵심은 밑이 무엇이냐예요. 로그는 밑이 있어야 하는데, 그 밑이 뭐냐에 따라 이름이 달라져요. 밑이 10인 로그를 상용로그라고 하고, 이때 보통 밑을 생략하고 그냥 log라고 써요. 그러니까 log는 밑이 10이라고 보시면 돼요. 우리가 쓰는 수가 10진법이라 10을 밑으로 하는 게 편하거든요.ln은 밑이 e라는 특별한 숫자인 로그예요. e는 약 2.718 정도 되는 무리수인데, 자연 현상에서 신기할 만큼 자주 등장해서 자연로그라는 이름이 붙었어요. 인구 증가나 방사성 물질의 붕괴처럼 자연스럽게 늘거나 줄어드는 현상을 다룰 때 이 e가 튀어나오거든요. 그래서 ln은 자연로그, log는 상용로그라고 부르는 게 맞아요.정리하면 sin cos tan은 원 위로 확장된 삼각비, log는 밑이 10인 상용로그, ln은 밑이 e인 자연로그예요. 지금은 정의가 낯설어서 어렵게 느껴지지만 각각 무엇을 거꾸로 묻는 도구인지만 잡으면 금방 익숙해질 거예요 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.각속도는 한마디로 회전하는 물체가 얼마나 빠르게 도느냐를 나타내는 양이에요. 우리가 흔히 말하는 속도가 직선으로 얼마나 빨리 움직이느냐라면, 각속도는 한 점을 중심으로 얼마나 빨리 각도를 돌아가느냐를 재는 거랍니다.쉽게 비유하면 시계 바늘을 떠올리시면 돼요. 초침이 1초에 6도씩 돌아가는데, 이 1초당 6도라는 회전 빠르기가 바로 각속도예요. 단위 시간 동안 중심을 기준으로 몇 도를 쓸고 지나갔느냐를 나타내는 거예요. 보통 기호로는 그리스 문자 오메가를 쓰고, 단위는 1초에 몇 도 또는 과학에서는 1초에 몇 라디안으로 표현해요. 라디안은 각도를 재는 또 다른 방식인데, 한 바퀴가 360도이면서 동시에 2파이 라디안이에요.여기서 꼭 짚어야 할 게 각속도와 보통 속도의 관계예요. 회전판 위에 두 사람이 있다고 해볼게요. 한 명은 중심 가까이, 한 명은 바깥쪽 가장자리에 서 있어요. 회전판이 돌면 두 사람은 똑같은 시간에 똑같은 각도를 도니까 각속도는 같아요. 그런데 바깥쪽 사람은 훨씬 큰 원을 그리며 돌기 때문에 실제로 이동하는 거리는 더 길어요. 즉 직선 속도는 바깥쪽이 더 빠른 거예요. 회전목마에서 바깥쪽 자리가 더 스릴 있게 느껴지는 게 이 때문이에요. 각속도는 같아도 가장자리일수록 선속도가 빨라지거든요. 이 관계를 식으로 쓰면 선속도는 각속도 곱하기 반지름이에요. 반지름이 클수록 같은 각속도라도 선속도가 커지는 거예요.응용으로 들어가면 각속도가 쓰이는 곳이 정말 많아요. 지구의 자전이 대표적이에요. 지구는 24시간에 한 바퀴를 도는데, 이 회전 빠르기가 지구의 각속도예요. 그런데 적도에 선 사람은 자전하면서 엄청난 선속도로 움직이는 반면 극지방에 가까울수록 선속도가 느려져요. 위도마다 그리는 원의 크기가 다르기 때문이에요. 각속도는 지구 어디서나 같지만 선속도는 위치에 따라 달라지는 거랍니다.자동차 바퀴나 회전하는 기계에서도 각속도가 핵심이에요. 바퀴가 빠르게 회전할수록, 즉 각속도가 클수록 자동차가 빨리 나아가고, 같은 회전수라도 바퀴 반지름이 크면 한 바퀴에 더 멀리 가니까 속도가 빨라져요. 큰 바퀴 자전거가 같은 페달 회전으로도 더 멀리 나가는 게 이 원리예요.원운동을 다룰 때 각속도가 특히 중요한 이유는 회전하는 물체는 직선 속도만으로 설명하기 불편하기 때문이에요. 방향이 계속 바뀌니까 얼마나 빨리 도는지를 각도로 표현하는 게 훨씬 깔끔하거든요. 그래서 원운동이나 회전 문제가 나오면 각속도가 거의 빠지지 않고 등장한답니다.혹시 풀고 계신 문제가 등속 원운동 쪽인지 회전 관성이 얽힌 쪽인지 알려주시면, 그 유형에 맞춰 각속도가 어떻게 쓰이는지 더 구체적으로 짚어드릴게요 :)

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.답은 ① 6분의 1이에요.풀이를 간단히 짚어드리면, 역함수의 미분을 이용하는 문제예요. g가 f의 역함수니까 g 위의 점 (1, g(1))에서 접선의 기울기는 g 프라임 1을 구하는 거예요.먼저 g(1)이 뭔지 찾아야 해요. g(1)은 f를 거꾸로 돌린 거라 f의 값이 1이 되게 하는 x를 찾는 거예요. f(x)가 탄젠트 세제곱 x이니까 이게 1이 되려면 탄젠트 x가 1이어야 하고, 주어진 범위에서 탄젠트 x가 1인 각은 4분의 파이예요. 그러니까 g(1)은 4분의 파이가 돼요.역함수 미분 공식은 g 프라임 1이 f 프라임 g(1) 분의 1이라는 거예요. 그러니까 f 프라임 값을 4분의 파이에서 구한 뒤 그 역수를 취하면 돼요.f(x)는 탄젠트 x의 세제곱이니까 미분하면 3 곱하기 탄젠트 제곱 x 곱하기 세칸트 제곱 x가 나와요. 탄젠트를 미분하면 세칸트 제곱이 나오기 때문에 합성함수 미분으로 이렇게 정리되는 거예요. 여기에 x에 4분의 파이를 넣으면 탄젠트 4분의 파이는 1이라 제곱해도 1이고, 세칸트 4분의 파이는 코사인 4분의 파이의 역수인데 코사인 4분의 파이가 2분의 루트2라서 세칸트는 루트2, 제곱하면 2가 돼요. 그래서 f 프라임 값은 3 곱하기 1 곱하기 2로 6이에요.마지막으로 g 프라임 1은 이 값의 역수니까 6분의 1이 되는 거랍니다 :)