안녕하세요. 이수민 전문가입니다.
답은 ① 6분의 1이에요.
풀이를 간단히 짚어드리면, 역함수의 미분을 이용하는 문제예요. g가 f의 역함수니까 g 위의 점 (1, g(1))에서 접선의 기울기는 g 프라임 1을 구하는 거예요.
먼저 g(1)이 뭔지 찾아야 해요. g(1)은 f를 거꾸로 돌린 거라 f의 값이 1이 되게 하는 x를 찾는 거예요. f(x)가 탄젠트 세제곱 x이니까 이게 1이 되려면 탄젠트 x가 1이어야 하고, 주어진 범위에서 탄젠트 x가 1인 각은 4분의 파이예요. 그러니까 g(1)은 4분의 파이가 돼요.
역함수 미분 공식은 g 프라임 1이 f 프라임 g(1) 분의 1이라는 거예요. 그러니까 f 프라임 값을 4분의 파이에서 구한 뒤 그 역수를 취하면 돼요.
f(x)는 탄젠트 x의 세제곱이니까 미분하면 3 곱하기 탄젠트 제곱 x 곱하기 세칸트 제곱 x가 나와요. 탄젠트를 미분하면 세칸트 제곱이 나오기 때문에 합성함수 미분으로 이렇게 정리되는 거예요. 여기에 x에 4분의 파이를 넣으면 탄젠트 4분의 파이는 1이라 제곱해도 1이고, 세칸트 4분의 파이는 코사인 4분의 파이의 역수인데 코사인 4분의 파이가 2분의 루트2라서 세칸트는 루트2, 제곱하면 2가 돼요. 그래서 f 프라임 값은 3 곱하기 1 곱하기 2로 6이에요.
마지막으로 g 프라임 1은 이 값의 역수니까 6분의 1이 되는 거랍니다 :)