중2 수학문제 풀어주세요 문제 이해를 못하겠어요ㅠㅠ

Question

문제는 아래와 같습니다

일차부등식 3x-2a<=(<,=가 합쳐져 있다는 말입니다)5x-1/4+0.75를 만족하는 자연수 x가 존재하지 않을 때, 상수a의 값의 범위는 a<k이다. 이때 상수 k에 대하여 8k의 값을 구하시오.

이 문제의 답이랑 이유를 적어주세요 ㅠㅠ

Answer 1

오 일차부등식이네요

5x - 1/4 + 0.75에서 0.75는 3/4이니까 -1/4 + 3/4 = 2/4 = 1/2 이에요

그러면 식이 3x - 2a ≤ 5x + 1/2 이 돼요

이걸 x 기준으로 정리하면

3x - 5x ≤ 2a + 1/2

-2x ≤ 2a + 1/2

양변을 -2로 나누면 부등호 방향이 바뀌어요

x ≥ -a - 1/4

여기서 자연수 x가 존재하지 않으려면 -a - 1/4 이 1보다 커야 해요

그러니까 가장 작은 자연수인 1이 범위에 안 들어와야 하거든요

-a - 1/4 > 1

-a > 1 + 1/4

-a > 5/4

a < -5/4

그래서 k = -5/4 이고

8k = 8 × (-5/4) = -10

답은 -10 이에요

핵심은 부등호를 음수로 나눌 때 방향이 뒤집히는 거랑 자연수 x가 존재하지 않으려면 해의 범위가 1보다 커야 한다는 점이에요

Answer 2

먼저 부등식을 정리할게요.

오른쪽 항: 5x - 1/4 + 0.75 = 5x - 0.25 + 0.75 = 5x + 0.5 = 5x + 1/2

부등식: 3x - 2a ≤ 5x + 1/2

양변에서 5x를 빼면: -2x - 2a ≤ 1/2

양변에서 -2a를 이항: -2x ≤ 2a + 1/2

양변을 -2로 나누면 (부호 바뀜): x ≥ -a - 1/4

즉, 해는 x ≥ -a - 1/4 입니다.

이 부등식을 만족하는 자연수 x가 존재하지 않으려면, -a - 1/4 이상인 자연수가 없어야 합니다.

자연수 중 가장 작은 수는 1이므로, 1 < -a - 1/4 이면 자연수가 존재하지 않습니다. (정확히 말하면 -a - 1/4 > 1)

-a - 1/4 > 1

-a > 1 + 1/4 = 5/4

a < -5/4

따라서 k = -5/4이고,

8k = 8 × (-5/4) = -10

정답은 -10입니다.