ㆍ수학수학 문제 알 려주세요ㅇ 선생님들

Question

ㆍ다음 수학 문제를 풀다가 완전히 막혀서 질문드립니다.

자연수 �에 대하여



1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = k  가 어떤 자연수 �의 완전제곱수가 되도록 하는 모든 �의 값을 구하시오.

기본적인 제곱합 공식

이 값이 다시 어떤 수의 제곱이 되도록 만드는 조건을 어떻게 다뤄야 할지 감이 안 옵니다.

식 전체를 제곱수로 두고 경우를 나누어 보기도 하고,

작은 �부터 대입해 규칙을 찾아보려고 했는데

계속 계산만 길어지고 명확한 방향이 보이지 않습니다.

이 문제는 정수론적으로 접근해야 하는지,

아니면 부등식이나 경우의 수를 이용해 정리하는 문제인지

풀이의 핵심 아이디어를 전혀 잡지 못하겠습니다.

Answer 1

제곱합은 12+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}12+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)​ 이고 이것이 어떤 자연수의 완전제곱 m2m^2m2 가 되는 nnn을 찾는 문제입니다.
식 6m2=n(n+1)(2n+1)6m^2=n(n+1)(2n+1)6m2=n(n+1)(2n+1) 를 정리하면 정수해를 갖는 타원곡선 형태로 귀결되며, 이 문제는 루카스의 대포알 문제로 알려져 있습니다.
결론적으로 자연수 해는 n=1n=1n=1 과 n=24n=24n=24 뿐이며, 각각 111, 4900=7024900=70^24900=702 이 됩니다.
따라서 조건을 만족하는 모든 nnn의 값은 1과 24입니다.