지수에 i가들어가면 어떻게 될까요?

Question

궁금해여 ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ

Answer 1

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.

지수에 허수 i가 들어가면 정말 신기한 일이 벌어져요. 거듭제곱이 갑자기 회전운동으로 바뀌거든요.

보통 우리가 아는 거듭제곱은 같은 수를 반복해서 곱하는 거잖아요. 2의 3제곱은 2를 세 번 곱하는 거고요. 그런데 지수에 i가 들어간 e의 ix승 같은 건 i번 곱한다는 게 말이 안 되니까 완전히 다른 방식으로 이해해야 해요. 수학자 오일러가 이걸 풀어냈는데, e의 ix승이 코사인 x 더하기 i 사인 x와 같다는 거예요. 이걸 오일러 공식이라고 불러요.

이게 왜 회전이냐면, 코사인과 사인은 원 위의 한 점이 빙글빙글 도는 걸 나타내는 함수거든요. 복소수를 평면 위의 점으로 그릴 수 있는데, 가로축이 실수이고 세로축이 허수예요. e의 ix승은 이 평면에서 반지름 1인 원 위의 점을 가리키고, x값이 커질수록 그 점이 원을 따라 빙글빙글 돌아요. 지수가 커지면 보통은 값이 폭발적으로 커지는데, 허수 지수에서는 커지는 대신 제자리에서 회전만 하는 거예요.

가장 아름다운 순간은 x에 원주율 파이를 넣었을 때예요. e의 i파이승은 정확히 마이너스 1이 돼요. 원 위의 점이 파이만큼, 그러니까 반 바퀴 돌면 정확히 반대편인 마이너스 1에 도착하거든요. 이걸 정리하면 e의 i파이승 더하기 1은 0이라는 식이 나오는데, 수학에서 가장 중요한 다섯 개의 수인 e, i, 파이, 1, 0이 한 줄에 모두 모이는 이 식을 많은 수학자가 세상에서 가장 아름다운 공식으로 꼽아요.

지수에 허수를 넣는 게 단순한 수학 장난처럼 보여도 실제로는 엄청나게 쓸모가 많아요. 전기 신호나 소리처럼 물결치며 진동하는 모든 현상이 이 회전하는 지수함수로 깔끔하게 표현되거든요. 휴대폰 통신, 음악 재생, 영상 압축 같은 기술의 바탕에 이 개념이 깔려 있답니다. 허수라는 상상의 수가 우리 일상을 돌아가게 하고 있는 셈이에요 :)