몬티홀의 딜레마는 무엇인가요?
제목과 같습니다.
몬티홀의 딜레마는 무엇인가요?
몬티홀이라는 사람이 만든건가요?
자세한 설명 부탁드립니다.
감사합니다.
4개의 답변이 있어요!안녕하세요. 김태경 과학전문가입니다.
몬티 홀 딜레마는 인간이 합리적 선택을 한다는 전통 경제학의 가정의 허를 찌르는 사례로 유명하다. 전통 경제학에 따르면, 인간은 합리적이고 이성적인 존재이므로 언제나 자신의 이익을 위해 행동하므로 이러한 인간이 몬티 홀 문제를 풀면 사람들은 모두 선택을 바꾸어야 한다
출처 : 위키백과
안녕하세요. 김학영 과학전문가입니다.몬티 홀의 딜레마(Monty Hall problem)는 확률 이론에서 매우 유명한 문제 중 하나입니다. 이 문제는 다음과 같습니다.
세 개의 문 중 하나를 선택하고, 다른 두 문 중에서는 염소가 있고, 나머지 한 문에서는 차가 있다고 가정합니다. 이때, 참가자가 먼저 선택한 문을 공개자가 열어 염소가 있는 문을 보여주면서 "바꾸시겠습니까?"라는 선택을 하게 됩니다.
이 문제에서 딜레마는 바로 마지막 선택입니다. 참가자는 처음 선택한 문을 유지하거나 다른 문으로 바꿀 수 있습니다. 이때, 바꾸는 것이 이길 확률이 높은 것인지, 아니면 처음 선택한 문을 유지하는 것이 이길 확률이 높은 것인지가 딜레마입니다.
정답은 바꾸는 것이 이길 확률이 더 높습니다. 처음에 참가자가 선택한 문이 차가 있을 확률은 1/3이고, 염소가 있을 확률은 2/3입니다.
안녕하세요. 원형석 과학전문가입니다.
몬티홀 문제의 확률은 인간의 착각에서 나온 오답
상세한 설명은 아래 글과 링크를 참고 하시길 바랍니다
1. 1/3 게임에서 내가 한 곳을 선택하고 나면
게임 진행자가 남아 있는 두 곳중 상품이 없는 한 곳을 오픈 후 첫 선택을 바꿀 기회를 준다고
" 내가 첫 선택을 하기 전에 " 게임 진행자가 나에게 약속을 하였다면 : 첫 선택 바꾸면 2/3
( 이유는, 내가 참여하는 게임이 " 1/3 게임 " 에서 " 캉호홀 게임 " 으로 바뀌었기 때문 )
* 캉호홀 게임 *
내가 세곳 중 한곳을 선택하고 나면, 게임 진행자가 남아 있는 두곳 중 상품이 없는 한곳을 오픈 후
첫 선택을 바꿀 기회를 주는 게임
< 상품이 1번에 있다고 가정할때 >
내가 1번 선택, 게임 진행자 상품이 없는 한곳 오픈, 바꾸면 X
내가 2번 선택, 게임 진행자 상품이 없는 한곳 오픈, 바꾸면 O
내가 3번 선택, 게임 진행자 상품이 없는 한곳 오픈, 바꾸면 O
2. 내가 1/3 게임에 참여하여 한 곳을 선택하고 난 후
게임 진행자도 상품의 위치를 모르는 상황에서 남아 있는 두 곳중 한 곳을 오픈 하였는데
그곳에 상품이 없고 이 상황에서 나에게 바꿀 기회를 주었다면 : 1/2
( 이유는, 게임 진행자가 한곳을 오픈 할때 상품이 있는 곳이 오픈되어 게임이 끝날 수 있었기 때문 )
< 상품이 1번에 있다고 가정할때 >
내가 1번 선택, 게임 진행자 2번 오픈, 바꾸면 X
내가 1번 선택, 게임 진행자 3번 오픈, 바꾸면 X
내가 2번 선택, 게임 진행자 1번 오픈, 게임종료
내가 2번 선택, 게임 진행자 3번 오픈, 바꾸면 O
내가 3번 선택, 게임 진행자 1번 오픈, 게임종료
내가 3번 선택, 게임 진행자 2번 오픈, 바꾸면 O
그런데
3. 내가 1/3 게임에 참여하여 한 곳을 선택하고 난 후
게임 진행자가 상품이 없는 한 곳을 오픈 후 갑자기 나에게 첫 선택을 바꿀 기회를 주었다면 : 심리전
( 이유는, 나는 1/3 게임에 참여 하였으니 당연히 게임 진행자는 1/3 게임에서 게임을 끝낼 수 있었기 때문 )
몬티홀 문제의 확률은 오답입니다.
몬티홀 문제에 오답이 나오는 이유는...
3의 상황 : 1/3 게임에 참여하였다가 선택의 기회를 한번 더 가진 상황 ( 몬티홀 문제, 심리전 )
1의 상황 : 선택의 기회를 두번 가지는 게임에 참여한 상황 ( 캉호홀 게임 , 첫 선택 변경시 2/3 )
이 두가지 상황에서...
3의 상황을 제3자에게 하는 질문과
1의 상황을 제3자에게 하는 질문이 동일 할 수 있다 보니
( 이 부분에 대한 상세한 설명은 아래 링크 글 " 1.착각 / 2. 함정 " 편 참고 )
몬티홀 문제를 접한 제3자가
게임 참가자 입장에서 해답을 찾는 과정에서
3의 상황과 1의 상황을 구분하지 못하고 혼동하여
3의 상황인 몬티홀 문제를 1의 상황으로 착각하기 때문입니다.
다시 말해서
몬티홀 문제를 접한 사람이 문제 해결을 위해
" 게임 참가자가 1/3 게임에 참여해서 한 곳을 선택했고
그리고 나서 게임 진행자에 의해 상품이 없는 문 한 곳이 오픈되고 난 후,
바꿀 기회를 가진 그 상황 " 을 가지고 경우의 수를 따질때
3개의 문이 모두 닫힌 상태에서 경우의 수를 따지기 시작하다 보니
게임 참가자가 첫 선택을 하기 전 상황으로 다시 돌아가 버리게 되고
* 주의 *
게임 참가자는 3곳중 1곳을 선택하고 난 후 바꿀 기회를 가진 상황이므로
절대 바꿀 기회를 가지고 3곳중 1곳을 선택하기 전 상황으로 다시 돌아가면 안됨
이렇게 바꿀 기회를 가지고
게임 참가자가 바꿀 기회를 가진 그 시점 아닌
게임 참가자가 " 첫 선택을 하기 전 상황 "으로 다시 돌아가게 되면
3의 상황인 몬티홀 문제가 1의 상황이 되어 버리고
이렇게 몬티홀 문제를 1의 상황으로 착각하게 되면,
이 사람들에게 이 문제는 초딩도 이해할 수 있는 단순 확률 문제가 되어 버리고
그렇지 않은 사람들은 도저히 그 확률을 받아 들일 수 없어서
몬티홀 문제가 몬티홀 딜레마 , 몬티홀 역설 등으로 불리어지며 유명한 확률 문제가 된 것입니다.
참고로,
몬티홀 문제의 오답을 검증하는 방법은 간단합니다.
3명의 참가자가 세곳의 선택지를 각자 한 곳씩 선택해 보면 됩니다.
3명 중 1명이 탈락하고 나서 남은 2명에게 서로 맞 바꿀 기회를 줄때 바꾸는 것이 유리한 사람은,
게임 진행자가 첫 선택을 바꿀 기회를 준다고 미리 약속된 사람 , 즉 " 캉호홀 게임 " 에 참여한 사람이며,
만약, 3명이 한 곳씩 선택하기 전에 그러한 약속을 한 사람이 없다면,
남은 두 사람에게 이 상황은 몬티홀 문제 , 즉 " 심리전 " 상황이 되는 것입니다.
다시 말해서,
게임 진행자가 나에게 상품을 주고 싶어 한다고 판단하는 사람은 바꾸길 원할 것이고,
그렇지 않는 사람은 바꾸기 싫어 할 것이며
당연히 이 경우는 서로 합의가 안되면 바꿀 수 없습니다.
그리고
만약, 게임 진행자도 상품의 위치를 모르는 상황에서 이러한 일들이 벌어졌다면,
서로 상품을 가질 확률이 1/2로 같으니 바꾸는 것이 의미가 없고 그냥 행운이 따라주길 바래야 겠죠!
확률은 보통 (사건 S가 일어나는 경우의 수)/(전체 경우의 수)로 정의하는데
이때 이 정의를 사용할 때에는 중요한 전제가 있습니다.
각 경우의 수가 일어날 확률은 동일하다는 전제입니다.
만약 위 전제가 없다면
서울대를 갈 확률은 가거나 못가거나 2가지 중 한가지이므로 확률이 1/2가 되버리죠.
결국 질문자님께서 실수하신 부분은
질문자님이 든 예시에서 문 2와 문 3을 고르는 경우가 같다고 두신 거에요.
'염소가 있는 문을 고를 확률은 자동차가 있는 문을 고르거나 염소가 있는 문을 고르거나 2가지 중 한가지이므로 확률은 1/2이다.'
위 명제는 분명히 틀렸습니다. 왜냐하면 자동차가 있는 문을 고를 확률과 염소가 있는 문을 고를 확률이 분명히 우리 경험적으로도 알 수 있듯이 다르거든요. 1억개의 검은 공과 1개의 흰 공이 들어있는 주머니에서 공을 임의로 한개 꺼냈을 때 흰공이 나올 확률은 마찬가지로 절대로 1/2가 아니에요.
안녕하세요. 김경태 과학전문가입니다.
몬티 홀의 딜레마는 확률 이론에서 다루는 문제 중 하나입니다. 이 문제는 다음과 같은 상황에서 발생합니다.
참가자는 3개의 문 중 하나를 선택해야 합니다. 그 중 하나는 상품이 들어있는 문이고, 나머지 두 개의 문은 염소가 들어있습니다. 참가자가 하나의 문을 선택한 후, 진행자는 나머지 두 개의 문 중 하나를 열어 염소가 들어있다는 것을 보여줍니다. 이 때 참가자는 선택한 문을 바꿀 것인지 유지할 것인지를 선택해야 합니다.
이 문제에서 참가자가 선택한 문을 바꾸는 것이 더 유리한 선택인 이유는, 처음에 참가자가 선택한 문이 상품이 들어있는 문일 확률은 1/3이지만, 나머지 두 개의 문 중 하나가 염소를 가지고 있으므로, 진행자가 염소가 들어있는 문을 열어 보여준 후 남은 문이 상품을 가지고 있을 확률은 2/3입니다. 따라서 참가자가 선택한 문을 바꾸는 것이 더 많은 확률로 상품을 획득할 수 있는 선택이 됩니다.
