확률 역설이라는 몬티홀 딜레마는 무엇인가요?
세계에서 가장 널리 알려진 확률 역설 몬티홀 딜레마에 대해 설명해주세요. 저명한 수학자, 통계학자, 대학교수 등 노벨상 수상자도 의견이 달랐다는 게 사실인가요?
6개의 답변이 있어요!안녕하세요. 홍성택 과학전문가입니다.
확률 역설의 핵심은 초기 선택의 확률이 변경 후의 확률과 다르다는 것입니다. 초기에 참가자가 선택한 문의 확률은 1/3이지만, 진행자가 문을 열어 상품이 없음을 보여준 후에는 다른 문의 확률은 2/3이 됩니다. 따라서 선택을 변경하면 더 높은 확률로 상품을 얻을 수 있습니다. 이는 많은 사람들에게 혼동을 주는 역설적인 상황으로 알려져 있습니다.
안녕하세요. 김현준 과학전문가입니다. 몬티홀 딜레마는 확률 이론에 관한 문제로, 직관적인 생각과 수학적 계산이 일치하지 않는 역설적인 상황을 보여줍니다.
몬티홀 딜레마는 게임쇼에서 유래되었습니다. 참가자는 세 개의 문 중 하나를 선택해야 하는데, 한 문 뒤에는 자동차가 있고 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있습니다. 참가자가 문을 하나 고르면, 게임쇼 진행자(몬티 홀)는 참가자가 선택하지 않은 문 중 하나를 열어 염소가 있음을 보여줍니다. 그런 다음 참가자에게 선택을 바꾸는 기회를 줍니다. 질문은 "참가자가 처음 선택을 바꾸는 것이 이길 확률을 높일까?"입니다. 직관적으로 보면, 두 문이 남았으니 각각 50%의 확률이 있을 것 같지만, 수학적 계산에 의하면 선택을 바꾸면 이길 확률이 2/3로 높아집니다. 이는 처음에 염소가 있는 문을 고를 확률이 2/3이기 때문입니다. 따라서 선택을 바꾸는 것이 이길 확률을 높입니다. 몬티홀 딜레마에 대한 이론은 많은 사람들을 놀라게 했고, 심지어 몇몇 저명한 수학자들조차도 처음에는 이를 받아들이지 못했습니다. 실제로, 해당 문제에 대한 토론은 수많은 학술지와 매체를 통해 진행되었으며, 여러 전문가들 사이에서도 의견이 분분했습니다. 그러나 최종적으로는 수학적 분석이 옳다는 것이 입증되어, 이제는 대부분의 사람들이 선택을 바꾸는 것이 이길 확률을 높인다는 것을 인정하고 있습니다. 몬티홀 딜레마는 확률과 통계에 대한 일반적인 직관이 얼마나 잘못될 수 있는지를 보여주는 좋은 예시입니다. 이는 복잡한 확률적 시나리오를 분석하고 이해하는 데 있어 중요한 도구로 활용됩니다.
안녕하세요! 손성민 과학전문가입니다.
확률 역설 몬티홀 딜레마는 1975년 미국의 게임쇼인 'Let's Make a Deal'에서 유명한 주인공 몬티홀이 출제한 문제로 참가자가 선택한 문 뒤에 있는 상품을 바꿀지 말지를 결정하는 상황을 말합니다. 이 문제는 단순해 보이지만 수학적으로는 매우 복잡한 문제로 알려져 있습니다.
이 문제에 대해 저명한 수학자 통계학자 대학교수 등 노벨상 수상자들도 의견이 분분하게 나뉘어 왔습니다. 그 이유는 이 문제가 확률 이론과 관련이 깊기 때문입니다. 확률 이론은 우리가 미래에 일어날 사건에 대해 예측하는 데 사용되는 수학적인 도구입니다. 하지만 이 문제에서는 참가자가 선택한 문 뒤에 있는 상품이 어떤 확률로 나올지 정확하게 예측하기가 어렵기 때문에 논란이 생기게 되었습니다.
확률 역설 몬티홀 딜레마는 참가자가 선택한 문 뒤에 있는 상품을 바꿀지 말지를 결정하는 것이 중요합니다. 일반적으로는 바꾸는 것이 더 유리한 선택이라고 알려져 있습니다. 이는 바꾸지 않는 경우와 바꾸는 경우의 확률을 계산해보면 알 수 있습니다. 바꾸지 않는 경우에는 처음에 선택한 문 뒤에 있는 상품이 나올 확률이 1/3이고 바꾸는 경우에는 처음에 선택한 문 뒤에 있는 상품이 나오지 않을 확률이 2/3입니다. 따라서 바꾸는 것이 더 유리한 선택이 됩니다. 따라서 노벨상 수상자들도 이 문제에 대해 의견이 달랐던 것으로 알려져 있습니다.
이렇듯 확률 역설 몬티홀 딜레마는 매우 흥미로운 문제이며 확률 이론을 이해하는 데에도 큰 도움이 됩니다. 감사합니다.
도움이 되셨다면 아래 추천과 좋아요 부탁드립니다.
안녕하세요. 송종민 과학전문가입니다.
몬티 홀(Monty Hall)이라는 캐나다-미국[1] TV 프로그램 사회자가 진행하던 미국 오락 프로그램 《Let's Make a Deal》에서 유래한 확률 문제. 위의 원문은 해당 칼럼에 실린 문제를 그대로 가져온 것이며, 상품의 종류 등의 디테일은 문제에 따라 조금씩 바뀌지만 당연히 수학적인 의미는 동일하다.
세부사항을 쳐내고 핵심적인 규칙만 말하자면 다음과 같다.
닫혀 있는 문 3개가 있다.
한 문 뒤에는 상품(=자동차)이 있고, 나머지 두 문은 꽝(=염소)이다.
참가자는 이 3가지 문 중 하나를 골라야 상품을 얻을 수 있다.
참가자가 문 하나를 고르면, 이미 상품이 어딨는지 알고 있는 사회자는 남은 2가지 문 중에 하나를 열고 그게 '꽝'이라는 사실을 밝힌다.
여기서 참가자에게 다른 문으로 바꿀 수 있는 기회가 주어진다.
정답은 바로 선택을 바꾸는 것이 훨씬 이득이라는 것. 처음에 고르자마자 정답일 확률은 당연히 1/3이지만, 사회자의 권유에 따라 ('꽝'을 확인하고서) 다른 문으로 선택을 바꿨을 때 정답일 확률은 두 배나 높은 2/3이 되기 때문이다.
대부분 사람들은 직관적으로 선택을 바꾸든 바꾸지 않든 확률은 똑같이 1/2일 것이라고 생각한다. 이후 해답을 보고 '논리적으로' 이해는 했음에도 여전히 직관적으로는 왜 50%의 확률이 아닌지 쉽게 납득하지 못하는 경우도 많을 정도로 인간의 직감과 논리는 많이 동떨어져 있다는 걸 보여주는 예시이기도 하다.[2]
수학적으로 엄밀하게 풀려면 다음과 같은 전제가 가정된다. (이 가정을 변경하는 문제는 비고전적인 몬티 홀 문제가 된다.)
사회자는 자동차가 어느 문 뒤에 있는지 알고 있다: 실제 게임 룰에서 자연스레 추론되는 부분으로, 사회자가 실수로 자동차가 있는 문을 열어버리면 바로 방송사고이기 때문이다.
이 전제가 달라지면 문제의 답이 완전히 달라진다. 만약 사회자가 자동차가 어디에 있는지 모르는 상태로 문을 열었는데 염소가 나온 상황이라면, 참가자가 원래 선택지를 고수하나 선택을 바꾸나 자동차를 얻을 확률은 1/2로 동일해진다. 하술한 사회자가 문 너머를 인지 못한 채 연다면? 문단 참고
사회자는 추가적으로 문을 열어줘야만 한다: 사회자는 참여자가 연 문 외의 빈 문을 무조건 열어주어야 하며 이를 선택할 수 없다. 만약 문을 열어줄지 말지 여부를 사회자 재량으로 선택할 수 있다면 확률 변화를 이용한 심리 트릭이 되어버린다. 아래 다른 문을 안 열어줘도 된다? 참고.
사회자는 염소가 들어 있는 문을 임의로 선택한다: 만약 도전자가 처음에 선택한 1번 문이 자동차가 있는 문이라면, 사회자는 염소가 들어 있는 2번, 3번 문 중 하나를 아무거나 열 수 있는데, 이때 무조건 편향 없이 두 문 중 하나를 무작위로 열어야 한다.
사회자가 두 문중 한 문을 더 선호한다는 정보가 알려지면, 참가자는 이를 바탕으로 자동차의 위치를 추론할 수 있게 되기 때문이다. 하술한 편견 있는 몬티 문단 참고.
안녕하세요. 류경범 과학전문가입니다.
몬티홀 딜레마는 확률 이론과 의사결정 이론에 관련된 문제로, 직관과 실제 확률 사이의 차이를 보여주는 유명한 예시입니다.
이 문제는 'Let’s Make a Deal’이라는 미국 퀴즈쇼에서 나왔습니다. 세 개의 문 중 하나를 선택하는 상황에서 하나의 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 개의 문 뒤에는 염소가 있습니다. 참가자가 문 하나를 선택한 후, 퀴즈쇼의 사회자는 남은 두 문 중 염소가 있는 문 하나를 열어 보여줍니다. 그런 다음, 참가자에게 처음에 선택한 문을 유지할지 아니면 남아있는 문으로 바꿀지 결정하게 합니다.
대부분의 사람들은 처음 선택을 유지하는 것이 무난하다고 생각하지만, 실제로는 선택을 바꾸는 것이 승리 확률을 두 배로 높입니다. 즉, 문을 바꾸면 자동차를 얻을 확률이 1/3에서 2/3로 증가하게 되죠.
이 문제는 직관적으로 이해하기 어렵기 때문에 말씀대로 상당히 의견이 갈라지며 많은 논란을 일으켰습니다.
실제 이 문제에 대한 해답이 공개되었을 때, 이에 대한 항의 편지가 수천 건이 넘게 접수되었죠.
안녕하세요. 김철승 과학전문가입니다.
몬티홀 딜레마는 세계에서 가장 널리
알려진 확률 역설로 저명한
수학자 통계학자
대학교수 등 노벨상 수상자도 의견이
달랐던 문제입니다.
몬티홀 딜레마는 다음과 같은 상황을 가정합니다.
사회자가 3개의 문이 있고 그 중 하나에는 자동차가 있습니다.
나머지 두 문에는 염소가 있습니다.
참가자는 한 문을 선택합니다.
사회자는 참가자가 선택한 문과 다른 문을 열고 그 안에는 염소가 있습니다.
사회자는 참가자에게 선택을 바꾸겠냐고 묻습니다.
이 상황에서 참가자는 선택을 바꾸는 것이 더 유리합니다.
처음 선택을 할 때에는 자동차가 있는 문과 꽝이 있는
문의 확률은 각각 1/3입니다.
하지만 사회자가 한 문을 열고
염소가 있는 것으로 확인되면 꽝이 있는
문은 한 개로 줄어듭니다.
따라서 남은 두 문 중에는
자동차가 있는 문과 꽝이 있는
문의 확률이 각각 1/2입니다.
따라서 선택을 바꾸면 자동차를
얻을 확률이 2/3으로 증가합니다.
이 문제는 직관과는 달리 선택을
바꾸는 것이 더 유리하다는 점에서
많은 사람들을 당황하게 합니다.
실제로 많은 사람들이 처음
선택을 고수하는 경향이 있습니다.
확률적 사고를 하는 사람들은
선택을 바꾸는 것이 더 유리하다는 것을
이해합니다.
직관적 사고를 하는 사람들은 선택을 바꾸는 것이
불합리하다고 생각합니다.
이 문제에 대한 논쟁은 아직도 계속되고 있습니다.
