(수학) 역삼각함수의 미분에서 x에 대해 미분

Question

x=siny를 x에 대해 미분 한다음에 1=cosydy/dx 나오면 1/cosy=dy/dx 라고 하잖아요. 이때 그냥 양변을 y에 대해 미분한다고 하고 dx/dy=cosy 이고, 역수를 취하면 dy/dx=1/cosy 이다 라고 해도 되는건가요? 수학적 오류가 있나요?

Answer 1

안녕하세요. 서종현 전문가입니다.

역삼각함수 미분에서 x=siny를 x에 대해 미분하면

1=cosy dy/dx

이고, 여기서 양변을 y에 대해 미분한다고 생각하며

dx/dy = cosy 로 보고 역수를 취해서

dy/dx = 1/cos y 라고 해도 수학적으로 맞습니다.

즉, x를 y의 함수로 보고 x에 대해 y를 미분하는 것과 y를 x의 함수로 보고 미분하는 것은 서로 역수 관계임을 이용한 방법입니다. 다만, 이 과정은 변수 간에 미분 관계를 정확히 이해하고 전제 하에 가능하며, 이를 놓치면 혼동할 수있으니 조심해야 합니다.

간단히 말해, dx/dy와 dy/dx는 서로 역수 관계이므로 이 방법은 오류가 없습니다.

Answer 2

안녕하세요. 조일현 전문가입니다.

단순한 계산으로 보자면 문제가 없어 보입니다.

하지만 이를 문제로 본다고 한다면 아마도 분모가0이 되는 지점을 말할 것 같네요

수학에서는 수직인 기울기는 무한대로 보기 때문입니다.

Answer 3

안녕하세요. 감병주 전문가입니다.

네, 그 방법도 가능합니다. 다만 dx/dy=/=0 즉 cos⁡y=/=0인 구간이라는 조건이 필요합니다.
x=sin⁡y를 y에 대해 미분하면 dx/dy=cos⁡y를 얻습니다. 이후 역함수 미분 관계를 이용해 dy/dx=1/(dx/dy)로 나타낼 수 있습니다. 따라서 dy/dx=1/cos⁡y라는 결과를 얻는 것은 수학적으로 맞고 이는 역함수의 미분 공식을 이용한 풀이와 같은 원리입니다.
즉 역수를 취할 수 있는 조건만 만족한다면 질문에서 제시한 방법에도 수학적 오류는 없습니다.