학문
프린키피아에 제1장 대해 알고싶다.
뉴턴의 프린키피아 1장에선 선이나 점을 다른 선,점으로 접근시키는데 이때 다른 선이나 점과 같다고 표현하네요. 이것이 가능한 이유와 물리학적 의미가 뭔지 모르겠네요.
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안녕하세요. 이수민 전문가입니다.
프린키피아 1권 첫머리에 나오는 그 내용은 뉴턴이 미적분의 극한 개념을 기하학적으로 설명하는 부분이에요. 지금 헷갈리시는 같다는 표현이 바로 뉴턴 사상의 핵심이라 짚으신 지점이 정확해요.
뉴턴이 말하는 같아진다는 건 두 양이 어느 순간 딱 맞아떨어진다는 뜻이 아니에요. 두 양의 차이가 한없이 0에 가까워져서, 그 어떤 작은 값보다도 더 작게 만들 수 있다는 의미예요. 이걸 뉴턴은 궁극의 비라고 불렀어요. 예를 들어 곡선에 가까워지는 직선들을 생각해보면, 직선을 곡선에 점점 붙여나갈 때 둘의 차이가 영원히 완전한 0이 되지는 않지만 원하는 만큼 얼마든지 작게 만들 수 있거든요. 이 한없이 가까워지는 상태를 뉴턴은 같다고 표현한 거예요.
이게 가능한 이유는 극한이라는 개념 덕분이에요. 핵심은 마지막 순간의 값이 아니라 한없이 다가가는 과정에서 향하는 목표예요. 화살이 과녁에 닿기 직전 거리를 계속 반으로 줄여나가면 영원히 닿지 않을 것 같지만 그 거리가 향하는 값은 분명히 0이잖아요. 뉴턴은 도형으로 이걸 보여줬어요. 곡선 아래 넓이를 구할 때 가느다란 직사각형으로 채우면 실제 넓이와 차이가 나지만, 직사각형의 폭을 한없이 좁히면 그 차이가 사라지는 쪽으로 수렴하는 거예요.
물리학적 의미가 바로 여기서 나와요. 뉴턴이 풀고 싶었던 건 매 순간 변하는 운동이었거든요. 행성은 매 순간 속도와 방향이 바뀌는데, 어느 한 찰나의 속도를 구하려면 시간 간격을 한없이 짧게 줄여야 해요. 간격이 0에 수렴하는 그 순간의 비율이 순간 속도이고, 이게 바로 미분이에요. 곡선 궤도를 따라 움직이는 힘을 다루려면 이 순간순간의 변화를 포착하는 도구가 반드시 필요했던 거예요. 그래서 프린키피아 1권 도입부에서 운동을 본격적으로 다루기 전에 이 극한 개념부터 기하학으로 단단히 깔아둔 거랍니다.
당시에는 아직 미적분 기호 체계가 자리 잡기 전이라 뉴턴이 모든 걸 도형과 비율로 증명했어요. 그래서 현대 미적분에 익숙한 눈으로 보면 오히려 더 어렵게 느껴지는 면이 있어요. 지금 보시는 그 부분을 요즘 표현으로 바꾸면 결국 극한의 정의 그 자체랍니다 :)