안녕하세요. 이수민 전문가입니다.
정확하게 짚으셨어요. 푸리에 법칙 자체는 일계도함수만 쓰지만, 어느 방향으로 볼록한지에 따라 열이 쌓이는지 빠지는지를 따지는 그 직관이 바로 이계도함수로 이어지고, 그게 열전도 방정식의 핵심이거든요.
푸리에 법칙은 한 지점에서 열이 얼마나 빠르게 흐르는지를 말해줘요. 온도가 가파르게 변하는 곳일수록 열이 세게 흐른다는 거고, 식으로는 열류가 온도의 일계 기울기에 비례한다는 내용이에요. 그런데 이건 흐르는 양만 알려줄 뿐, 어느 한 지점에서 시간이 지나며 온도가 오를지 내릴지는 말해주지 않아요. 바로 여기서 한 단계 더 들어가야 해요.
어떤 작은 구간을 떠올려보세요. 왼쪽에서 들어오는 열과 오른쪽으로 나가는 열의 양을 비교해야 그 구간에 열이 쌓이는지 빠지는지를 알 수 있잖아요. 들어오는 열류와 나가는 열류의 차이, 그러니까 열류가 위치에 따라 얼마나 변하는지를 봐야 하는 거예요. 푸리에 법칙에서 열류가 이미 온도의 일계 미분이니까, 그 열류를 위치로 한 번 더 미분하면 결국 온도의 이계도함수가 등장해요. 이게 바로 열전도 방정식이에요. 온도가 시간에 따라 변하는 속도가 온도의 위치에 대한 이계도함수에 비례한다는 식이거든요.
말씀하신 볼록함의 직관이 여기서 그대로 들어맞아요. 이계도함수는 그래프가 어느 쪽으로 휘었는지를 나타내는 값이잖아요. 온도 분포를 그렸을 때 어떤 지점이 아래로 볼록하면, 즉 주변보다 온도가 푹 꺼져 있으면 이계도함수가 양수가 되고 그 지점은 양옆에서 열이 흘러들어와 온도가 올라가요. 반대로 위로 볼록해서 주변보다 봉우리처럼 솟아 있으면 이계도함수가 음수이고 열이 양옆으로 빠져나가 온도가 내려가요. 직선처럼 곧으면 이계도함수가 0이라 들어오는 열과 나가는 열이 같아서 그 지점 온도는 변하지 않고요. 정확히 보신 거예요. 볼록한 방향이 열의 누적과 감소를 결정하는 거랍니다.
찾아보실 자료로는 열전도 방정식 또는 영어로 heat equation을 키워드로 검색하시면 돼요. 위키백과의 heat equation 항목이 유도 과정을 깔끔하게 보여주고, 대학 공업수학이나 열전달 교재의 1차원 열전도 방정식 유도 부분을 보시면 푸리에 법칙에서 이계도함수가 나오는 과정이 단계별로 정리돼 있어요. 검색어로는 푸리에 법칙 유도, 열확산 방정식, 에너지 보존 미소체적 같은 표현을 쓰시면 관련 자료가 잘 나온답니다.
생기부에 담으실 거라면 한 단계 더 확장해보시는 걸 추천해요. 이 열전도 방정식이 사실 확산 방정식과 똑같은 꼴이라는 점이 흥미로운 지점이에요. 잉크가 물에 퍼지는 현상이나 반도체에 불순물이 스며드는 과정도 같은 형태의 방정식으로 설명되거든요. 열이 퍼지는 것과 물질이 퍼지는 것이 수학적으로 한 몸이라는 거예요. 또 정상상태, 그러니까 시간이 충분히 흘러 온도가 더 이상 변하지 않는 상태에서는 이계도함수가 0이 되어 온도 분포가 직선이 된다는 결론도 함께 정리하면, 일계도함수와 이계도함수가 각각 무엇을 의미하는지를 입체적으로 보여줄 수 있어서 탐구 보고서의 완성도가 높아질 거예요 :)