두 강체인 물체 사이에서 충돌이 발생할 때 계산 방법

Question

두 물체가 충돌하는 상황에서, 두 물체는 서로 작용 반작용으로 임펄스 형태의 힘을 주고 받고, 그동안 두 물체 계의 운동량은 보존되지만 에너지는 (변형, 소리, 열 등에 의해) 보존되지 않을 수 있다로 알고 있는데요. 만약 두 물체가 강체인 상황으로 가정하면, 서로 힘은 주고 받지만 접촉 시간이 (완전 비탄성 충돌이 아닌 한) 무한소가 되어 운동량을 유효하게 전달하려면 주고받는 힘의 크기가 무한해야 하는데, 그럼 디렉-델타함수로 보고 계산해도 무방한가요? 또 이때에 속력의 시간에 대한 함수가 불연속이 되는 건가요? 그리고 두 물체의 접촉 위치와 분리 위치가 정확히 일치한다고 생각할 수 있을까요?

혹은 접촉 시간을 무한소로 생각하는 것에 문제가 되는 부분이 있을까요?

Answer 1

안녕하세요. 이수민 전문가입니다.

네, 강체 충돌에서는 힘을 F(t) = J·δ(t − t₀)로 두는 충격력 근사를 표준적으로 써요. 이렇게 두면 속도는 t₀에서 계단 함수처럼 불연속으로 점프하고, 위치는 연속이지만 그래프가 꺾이는 형태가 돼요. 접촉 시간이 0이니 접촉 위치와 분리 위치도 정확히 같아요. 이 순간 중력 같은 유한한 힘의 충격량은 0으로 수렴하니 충돌력만 남겨 계산해요. 완전 비탄성 충돌도 강체라면 똑같이 순간적으로 일어나요.

그런데 강체 가정만으로는 J의 크기가 정해지지 않아요. 운동량 보존 식 하나에 미지수가 두 개라서, 반발 계수 e = −(분리 상대속도)/(접근 상대속도)를 추가 조건으로 넣어야 결과가 나와요.

문제가 생기는 건 뉴턴의 요람처럼 여러 접촉이 동시에 일어날 때예요. 충격량을 어떻게 나눌지가 정해지지 않고, 실제로는 충돌 순서와 탄성파 전달에 따라 결과가 달라져요. 마찰이 있는 충돌에 반발 계수를 그대로 쓰면 에너지가 늘어나는 모순도 생겨서, 이럴 땐 접촉 강성을 넣은 유한 시간 모델로 계산해요 :)