저도 예전에 유튜브에서 영화 한 편 대여해놓고 프로젝터로 크게 보려다가 똑같이 문제가 발생했습니다 창만 뜨는 걸 겪어서 한참 헤맸던 기억이 나네요.
결론부터 말씀드리면 프로젝터나 케이블이 고장난 게 아니라, 유튜브 유료 영화에 걸린 저작권 보호 때문입니다. 폰 화면을 그대로 복사해서 쏘는 화면 미러링 방식은 유튜브가 대여나 구매한 콘텐츠 재생을 막아버려요. 무료 영상은 잘 나오는데 돈 주고 산 영화만 안 나오는 이유가 딱 이겁니다.
해결 방법은 크게 세 가지입니다.
첫째로, 프로젝터 안에 유튜브 앱이 들어있는 스마트 프로젝터라면 그 앱에서 폰과 같은 구글 계정으로 로그인한 뒤 보관함의 구매 항목으로 들어가서 재생하시면 됩니다. 저는 이 방법이 제일 확실했어요.
둘째로, 미러링 말고 캐스트로 보내는 방법입니다. 프로젝터에 크롬캐스트가 내장돼 있거나 동글을 하나 꽂으면, 폰 유튜브 앱 우측 상단의 캐스트 아이콘을 눌러 보낼 수 있어요. 이건 폰 화면을 복사하는 게 아니라 영상 자체를 넘기는 방식이라 유료 영화도 정상 재생됩니다.
셋째로, 유선으로 연결하실 거면 HDMI 케이블과 프로젝터가 모두 HDCP라는 복제방지 규격을 지원해야 합니다. 중간에 저가 분배기나 값싼 변환 젠더를 끼워두면 거기서 막히는 경우가 정말 많아요. 저도 한번은 젠더만 정품으로 바꿔서 해결된 적이 있습니다.
만약 프로젝터에 유튜브 앱이 아예 없는 모델이라면 크롬캐스트 같은 동글 하나 꽂는 게 제일 속 편합니다. 대여작은 재생을 시작한 뒤 이용 가능 시간이 정해져 있으니, 기한 넘기기 전에 해결되시길 바랄게요.