수학에서 tan 90° 가 이해가 안가요?
반지름이 1인 단위원에서 tan90°를 구합니다. 직관적으로 tan90° = sin90°/cos90° = 1/0이므로 불능이 되는데요. 그런데 단위원을 사용하여 분모를 1로 고정하고 중심각을 90도까지 벌리면 결국 분자 사인값은 무한대가 되어 즉 무한대/1이 되어 발산한다는 설명이 많은데요. 탄젠트의 정의는 결국 기울기인데 직관적으로 생각하는 값과 후자의 값이 다른데, 후자의 경우 분모를 cos0°로 고정하고 중심각을 90도까지 벌려서 모순 아닌가요? 즉 코사인값은 cos0°= 1, 사인값은 sin90°로 계산하는 셈인데, 이래도 되는지 궁금합니다.
안녕하세요. 김상규 전문가입니다.
말씀대로 탄젠트 90도는
정의에 따르면 분모가 0인 나눗셈 값이기에
수학적으로 정의는 되지 않습니다.
다만
극한의 개념에서 바라본다면
90도보다 큰 각도에서
90도에 가까워 질수록
음의 무한대로 발산하고
90도보다 작은 각에서
90도에 가까워 질 수록
양의 무한대로 발산한다고 볼 수 있는데요.
숫자라는 것이 상태를 나타내는 것은 아니기에
있다 없다. 무한대다 등의 부분은
사실 어느부분을 고정하고 생각하는 것이 편합니다.
길이도 따져본다면
최소의 단위가 있을 수 있는가? 라는 개념으로 보면
쪼개고 쪼개도 있는건 없어질 수 없기에
최소단위가 있을 수 없으나
실질적으로 물리학에서는
플랑크 길이라고 하여
길이의 최소단위가 있으며 ( 플랑크길이 1.62 x 10-35제곱)
이 보다 짧은 길이의 공간에서는 물리 법칙이 성립하지 않습니다.
그렇게 본다면.. 속도도 선형적이라기 보다는
계단식으로 증가한다고 볼 수 있겠지요.
단위원에서 Tan90° 해석: 직관 vs. 한계값 접근 방식의 차이 이해
1. 직관적 접근:
단위원에서 각도 90°는 x축 양의 방향과 일치합니다. 이때, 직관적으로 기울기를 생각하면 무한대라고 생각하기 쉽습니다. 왜냐하면 y축 방향으로는 어떤 변화도 없이 x축 방향으로 무한대로 늘어나기 때문입니다.
따라서 Tan90°는 sin90°/cos90° = 1/0으로 정의될 수 없고, 미정의라고 해석하는 것이 직관적으로 자연스럽습니다.
2. 한계값 접근:
하지만 삼각함수는 각도의 변화에 따른 변화율을 나타내는 함수이기 때문에, 각도 변화량에 대한 한계값으로 해석하는 것이 수학적으로 정확합니다.
단위원에서 각도를 90°에 가까워지도록 변화시킬 때, 분자(sinθ)는 1에 가까워지고 분모(cosθ)는 0에 가까워집니다.
만약 각도 90°까지 도달한다고 가정하면, 분자는 1이 되고 분모는 0이 됩니다.
수학적으로는 분모가 0이 되는 경우는 정의되지 않지만, 한계값 개념을 이용하면 각도가 90°에 가까워질수록 Tanθ 값은 무한대에 가까워진다고 해석할 수 있습니다.
따라서 Tan90°는 극한값으로 ∞라고 정의합니다.
3. 모순 해소:
분모를 cos0°로 고정하고 중심각을 90°까지 벌린다는 주장은 오류입니다.
각도가 90°에 가까워질수록 cosθ 값은 0에 가까워지지만, 정확히 0이 되는 것은 아닙니다.
따라서 분모는 항상 0이 되지 않고, 0에 아주 가까운 작은 값을 유지합니다.
따라서 Tan90° 계산 과정에서 분모가 0이 된다는 모순은 발생하지 않습니다.
안녕하세요. 김민규 전문가입니다.
결국 0 나누기 1 을 설명하기 위한 과정이기 때문에 무한대가 맞습니다. Sin 90 와 Tan 90 은 실제로는 구현이 되지 않는 삼각형이기도 하니깐요.
안녕하세요. 서종현 전문가입니다.
tan 90도는 정의되지 않습니다.
tan θ = sin θ / cosθ이므로, tan90도 =1 /0이 되어 0으로 나눌수없기 때문입니다.
단위원에서 tanθ는 원점과 (cosθ,sinθ)를 잇는 직선의 기울기입니다. 각도가 90도에 가까워지면 이직선은 y축에 평행해져 기울기가 무한히 커지거나 작아집니다.(발산) 특정 값으로 수렴하지 않으므로 정의되지 않음으로 표현합니다.
분모를 con0도로 고정한다는 것은 오해 입니다. cosθ는 각도 θ에 따라 변하며, 90도에서는 0이 됩니다.