학문
행렬 곱셈이 왜 이렇게 이루어지는지 궁금해요
행렬을 배울때 표로 배우는데 덧셈과 뺄셈, 실수배는 일반적으로 같은 행렬의 성분끼리 하는데 곱셈은 표를 기울이거나 표의 이름표를 바꿔주는등 순서를 맞쳐주려고 일부로 기울인거 같은데 왜 행렬의 곱셈은 다른 연산과 달리 이루어지나요?
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안녕하세요. 이수민 전문가입니다.
덧셈은 같은 자리끼리 그냥 더하면 되는데 곱셈만 유독 한쪽 행과 다른쪽 열을 짝지어 더하는 복잡한 방식이라 어색하게 느껴지는 게 당연해요. 핵심은 행렬 곱셈이 숫자를 곱하려고 만든 게 아니라 함수를 이어 붙이려고 만든 거라는 데 있어요.
행렬이 사실은 무언가를 변환하는 도구라는 점부터 봐야 해요. 행렬 하나는 점이나 화살표를 다른 위치로 옮기는 규칙이에요. 예를 들어 어떤 행렬은 도형을 회전시키고, 어떤 행렬은 크기를 늘리거나 줄여요. 행렬에 좌표를 넣으면 새로운 좌표가 나오는데, 이게 함수가 입력을 받아 출력을 내놓는 것과 똑같은 구조예요. 그러니까 행렬은 표가 아니라 변환 기계라고 생각하시는 게 본질에 가까워요.
그러면 행렬 곱셈은 뭐냐, 두 변환을 연달아 적용하는 거예요. 행렬 B로 한 번 변환하고 그 결과에 다시 행렬 A로 변환한다고 해볼게요. 이 두 단계를 한 번에 처리하는 하나의 행렬을 만드는 게 바로 A 곱하기 B예요. 함수를 합성하는 것과 똑같아요. f를 적용하고 g를 적용하는 걸 하나로 묶는 거죠.
여기서 왜 행과 열을 짝지어 곱하고 더하는지가 자연스럽게 나와요. 첫 번째 변환을 거친 결과가 두 번째 변환의 입력으로 들어가야 하는데, 그러려면 첫 변환의 출력 성분 하나하나가 두 번째 변환의 각 규칙에 골고루 영향을 줘야 하거든요. 그 영향을 빠짐없이 합산하는 과정이 바로 한 행의 값들과 한 열의 값들을 각각 곱해서 더하는 그 동작이에요. 표를 기울인 것처럼 보이는 게 사실은 출력과 입력을 정확히 연결하느라 그렇게 된 거예요.
순서를 바꾸면 결과가 달라지는 것도 이걸로 설명돼요. 옷을 입고 코트를 걸치는 것과 코트를 걸치고 옷을 입는 게 다르듯, 회전을 먼저 하고 늘이는 것과 늘이고 회전하는 건 결과가 달라요. 변환의 순서가 중요하니까 행렬 곱셈도 순서를 바꾸면 답이 달라지는 거예요. 덧셈은 순서를 바꿔도 같은데 곱셈은 안 그런 이유가 여기 있어요.
정리하면 덧셈은 두 변환을 단순히 포개는 거라 같은 자리끼리 더하면 되지만, 곱셈은 두 변환을 시간 순서대로 이어 붙이는 거라 출력과 입력을 맞물리게 하는 특별한 계산이 필요한 거예요. 표로만 보면 규칙이 억지스러워 보이지만, 변환을 연결한다는 관점에서 보면 그렇게 될 수밖에 없는 가장 자연스러운 방식이랍니다 :)