폐업으로 인한 퇴사후 추가근무 임금 및 실업급여

안녕하세요.
아웃소싱 업체(A)에서 4대보험적용 14개월 근무 후 회사가 3/31일 폐업해 다른 아웃소싱 업체(B)에 인수 되었습니다.
추후 업체(A)가 폐업한 사실을 알게 되었고 이후 파견된 업체(C)에서 5/4일 까지 근무 한 상황입니다.
현재 전에 소속되어있던 A업체에 관한 사직서는 작성한 상태이고
4월 급여와 5월 급여를 받기 위해서 계약서를 다시 작성해야 하는 상황입니다. 계약 조건이 마음에 들지 않아 퇴사 후 실업급여 신청을 하려고 하는데 계약서를 작성하게 되면 실업급여를 받을 수 없을 수도 있다고 하더라구요. 이럴 경우 단기계약서 작성을 하게되고(4~5월) 2개월 근무 후 계약만료로 퇴사를 하게되면 실업급여를 받을 수 있나요? 안된다면 어떤식으로 계약서를 작성해야하고 급여는 어떻게 받아야하나요? 그리고 혹시 계약만료로 인한 퇴사시 업체에 불이익이 발생하나요?
계약서 작성이 안된다면 4월 급여는 어떻게 받을 수 있나요?
답변부탁드립니다~..