3차방정식의 해를 구하는 공식은 무엇인가요?

Question

3차방정식

a * X^3 + b * X^2 + c * X + d = 0

을 구하는 공식을 알려 주세요.

여러가지 방법이 있다면 가능한 방법을 모두 알려주세요

Answer 1

안녕하세요. 고한석 전문가입니다.

3차방정식의 대표 풀이법은 카르다노 공식(Cardano's Formula)으로, 먼저 $x = t - \frac{b}{3a}$ 치환으로 2차항을 없애 우울한 3차방정식(Depressed Cubic) $t^3 + pt + q = 0$ 형태로 만든 뒤, $t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ 공식으로 해를 구하며, 판별식 $\Delta = -4p^3-27q^2$ 값에 따라 실수해 1개(Δ<0), 중근 포함 2개(Δ=0), 실수해 3개(Δ>0)로 나뉩니다. 두 번째 방법은 삼각함수(비에타 치환법)으로, 판별식 Δ>0(실수해 3개)일 때 $t = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right)$, k=0,1,2 공식으로 허수 없이 세 실수해를 모두 구할 수 있어 카르다노보다 직관적입니다. 세 번째로 실용적인 방법은 수치해석(뉴턴-랩슨법)으로, 적당한 초기값 $x_0$에서 $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ 반복 계산으로 근사해를 빠르게 구하는 방식이며, 실무·프로그래밍에서는 공식보다 이 수치해석법이 압도적으로 많이 쓰입니다! 📐

Answer 2

안녕하세요. 감병주 전문가입니다.

3차방정식 ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0의 일반해는 카르다노 공식으로 구할 수 있습니다.
먼저 x=y−b3ax=y-\frac{b}{3a}x=y−3ab로 치환해 y3+py+q=0y^3+py+q=0y3+py+q=0 형태로 변환한 뒤 공식을 적용합니다.
카르다노 공식은 모든 3차방정식의 해를 구할 수 있는 대표적인 해법이고 실제 계산에서는 공식이 복잡해 인수분해나 유리근 정리를 먼저 사용하는 경우가 많습니다. 정수 해가 존재하면 인수분해 후 남은 2차방정식을 푸는 방법이 가장 간단합니다.
그 외에도 뉴턴법 같은 수치해석 기법을 사용해 근을 근사적으로 구할 수 있습니다.

Answer 3

안녕하세요. 조일현 전문가입니다.

관련 방법으로는 카르다노 공식을 통해 정확한 값을 도출 할 수 있습니다.

또한 삼각함수 치환을 통해 세 실근이 모두 존재할 때 가능하며, 복잡한 공식으로 직접 계산하기 보다는 근사치 값을

내는 수치해석적 방식으로 뉴턴-랩슨 방식이나 이분법이 활용 됩니다.