3차방정식의 해를 구하는 공식은 무엇인가요?

Question

3차방정식

a * X^3 + b * X^2 + c * X + d = 0

을 구하는 공식을 알려 주세요.

여러가지 방법이 있다면 가능한 방법을 모두 알려주세요

Answer 1

안녕하세요. 고한석 전문가입니다.

3차방정식의 대표 풀이법은 카르다노 공식(Cardano's Formula)으로, 먼저 $x = t - \frac{b}{3a}$ 치환으로 2차항을 없애 우울한 3차방정식(Depressed Cubic) $t^3 + pt + q = 0$ 형태로 만든 뒤, $t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ 공식으로 해를 구하며, 판별식 $\Delta = -4p^3-27q^2$ 값에 따라 실수해 1개(Δ<0), 중근 포함 2개(Δ=0), 실수해 3개(Δ>0)로 나뉩니다. 두 번째 방법은 삼각함수(비에타 치환법)으로, 판별식 Δ>0(실수해 3개)일 때 $t = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right)$, k=0,1,2 공식으로 허수 없이 세 실수해를 모두 구할 수 있어 카르다노보다 직관적입니다. 세 번째로 실용적인 방법은 수치해석(뉴턴-랩슨법)으로, 적당한 초기값 $x_0$에서 $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ 반복 계산으로 근사해를 빠르게 구하는 방식이며, 실무·프로그래밍에서는 공식보다 이 수치해석법이 압도적으로 많이 쓰입니다! 📐

Answer 2

안녕하세요. 서종현 전문가입니다.

3차 방정식 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0(a≠0)의 해를 구하는 대표적인 방법 3가지를 말씀드리겠습니다.

• 카르다노의 공식(대수적 대칭 공식)
  일반적인 3차 방정식의 근을 구하는 대수 공식입니다.

  • 차수 축소 : x=y-(b/3a)치환을 통해 2차항을 제거하여 y^3+py+q = 0 형태로 바꿉니다.

    • p = (3ac-b^2/3a^2), q= (2b^3-9abc+27a^2d/27a^3)

  • 해 산출 : y=u+v라 둘때, 다음식을 통해 근을 구합니다.

    • $u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$, $v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$

    • 최종근: $x = u + v - \frac{b}{3a}$ (나머지 두 복소수 근은 $1$의 세제곱근 $\omega$를 곱해 산출)

• 삼각 함수를 이용한 해법(판별식 D<0 / 실근 3개일때)
  카르다노 공식에서 음수의 제곱근이 나오는 불가약의 경우에는 삼각함수의 3배각 공식을 사용합니다.

  • $x = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right) - \frac{b}{3a}$ ($k=0, 1, 2$)

  • 단, $\cos(\theta) = \frac{3q}{2p\sqrt{-p/3}}$

• 인수정리와 조립제법(특수경우)
  실무나 수학교육에서 가장 많이 쓰이는 현실적 방법입니다.

  • 인수정리로 f(a) = 0 이 되는 정수/ 유리수 근 a를 하나 찾아(x-a)를 추출한뒤 , 조립제법으로 2차방정식으로 만들어 근의 공식을 적용합니다.

Answer 3

안녕하세요. 감병주 전문가입니다.

3차방정식 ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0의 일반해는 카르다노 공식으로 구할 수 있습니다.
먼저 x=y−b3ax=y-\frac{b}{3a}x=y−3ab로 치환해 y3+py+q=0y^3+py+q=0y3+py+q=0 형태로 변환한 뒤 공식을 적용합니다.
카르다노 공식은 모든 3차방정식의 해를 구할 수 있는 대표적인 해법이고 실제 계산에서는 공식이 복잡해 인수분해나 유리근 정리를 먼저 사용하는 경우가 많습니다. 정수 해가 존재하면 인수분해 후 남은 2차방정식을 푸는 방법이 가장 간단합니다.
그 외에도 뉴턴법 같은 수치해석 기법을 사용해 근을 근사적으로 구할 수 있습니다.

Answer 4

안녕하세요. 조일현 전문가입니다.

관련 방법으로는 카르다노 공식을 통해 정확한 값을 도출 할 수 있습니다.

또한 삼각함수 치환을 통해 세 실근이 모두 존재할 때 가능하며, 복잡한 공식으로 직접 계산하기 보다는 근사치 값을

내는 수치해석적 방식으로 뉴턴-랩슨 방식이나 이분법이 활용 됩니다.