질문자분 고양이가 기침을 하는 것은 기침이 없다가 갑자기 최근에 생긴 것인지 원래 기침을 했던 아이인지에 따라 달라질 것 같습니다. 아직 어린 연령이기 때문에 어릴 때부터 했다면 감염성 질환이 완전히 치료되지 않았을 수 있습니다. 또는 최근에 기침을 시작한 것이라면 환경변화 등의 가능성을 들 수 있을 것 같습니다. 이사를 했거나, 이불을 바꿨거나, 향초를 갑자기 피우기 시작했거나 등 여러 원인이 존재합니다.
일단 집에서 건조하지 않게 습도관리 잘해주시고 캔들이나 향수 같은 것은 없는지 확인해주세요. 고양이에게 자극이 갈 수도 있습니다. 또한 환기를 잘 해주는 것도 좋습니다.
하지만 일단 심각한 문제가 없는지 최소 흉부엑스레이 촬영과 기본 검진을 해보시는 것을 추천드립니다.