안녕하세요. 이수민 전문가입니다.
역학적 에너지 보존 법칙은 마찰이나 공기 저항처럼 에너지를 열로 빼앗는 힘이 없을 때, 위치 에너지와 운동 에너지의 합이 처음부터 끝까지 변하지 않는다는 내용이에요. 빗면 문제는 출발점과 도착점 두 순간만 비교하면 풀려요.
꼭대기에서 공은 가만히 놓였으니 속력이 0이라 운동 에너지도 0이고, 바닥을 기준으로 높이 h에 있으니 위치 에너지는 mgh예요. 바닥에 닿는 순간은 높이가 0이라 위치 에너지가 0이고, 속력을 v라 하면 운동 에너지는 ½mv²이에요. 두 순간의 합이 같아야 하니 mgh = ½mv²이라는 식이 세워지고, 양변의 m이 약분되면서 v² = 2gh, 즉 v = √(2gh)가 나와요. 예를 들어 h가 5m이고 g를 10m/s²로 잡으면 √100 = 10m/s예요.
이 결과에서 눈여겨볼 점이 두 가지 있어요. 질량 m이 지워졌으니 무거운 공이나 가벼운 공이나 바닥 속력이 같고, 빗면 기울기도 식에 들어 있지 않아서 완만하든 가파르든 높이만 같으면 속력은 같아요. 기울기는 도착하는 데 걸리는 시간만 바꿔요.
그런데 이건 마찰이 없어 공이 구르지 않고 미끄러져 내려오는 경우예요. 실제로 공이 굴러 내려오면 에너지 일부가 회전에 쓰여서, 속이 꽉 찬 공은 v = √(10gh/7)로 조금 느려져요 :)