저도 비슷하게 당황한 적이 있어서 적어봅니다. 결론부터 말하면 주소가 그대로여도 그 주소를 열어주고 있던 서버 프로세스가 살아 있어야 접속이 됩니다. 하루 지나서 안 된다면 링크가 만료된 게 아니라 서버가 꺼진 경우가 대부분입니다.
주소가 localhost:3000 같은 형태였다면, 클로드 코드 세션을 닫거나 터미널을 종료했거나 PC가 재부팅·절전에 들어간 순간 개발 서버도 같이 죽습니다. 프로젝트 폴더에서 개발 서버 실행 명령(npm run dev 같은 것)을 한 번 더 돌리면 같은 주소로 다시 열립니다.
반대로 다른 기기에서도 열리던 임시 공유 주소(ngrok, trycloudflare 같은 터널)였다면 그 주소 자체에 수명이 있습니다. 앞부분이 비슷해 보여서 안 바뀌었다고 느끼기 쉽지만, 재시작할 때마다 새 주소가 발급되고 이전 주소는 죽어버립니다.
확인은 이 순서가 빠릅니다. 터미널에 서버 실행 로그가 아직 살아 있는지 보고, 포트가 다른 프로세스에 잡혀서 3000이 아니라 3001로 올라가 있지 않은지 실행 로그를 확인해 보세요. 그리고 브라우저가 localhost를 https로 강제 이동시키는 경우도 있어서, 시크릿 창에서 http를 직접 붙여 들어가 보면 구분이 됩니다.
매번 다시 켜는 게 번거로우시면 무료 호스팅에 실제로 배포하거나 고정 주소를 주는 터널 설정으로 옮기는 편이 편합니다. 지금 상황만 넘기실 거면 개발 서버 재실행이 제일 빠른 해결입니다.