안녕하세요. 이수민 전문가입니다.
출발점은 훅의 법칙이에요. 용수철을 x만큼 늘리면 용수철은 kx 크기의 힘으로 되돌아가려 하고, 늘리는 사람도 그만큼의 힘으로 당겨야 해요. 이때 운동에너지가 생기지 않도록 아주 천천히 당긴다고 가정하면, 손이 한 일은 전부 용수철 안에 위치에너지로 저장돼요.
그런데 일을 힘 곱하기 거리로 바로 계산할 수는 없어요. 처음에는 거의 힘이 들지 않다가 늘어날수록 필요한 힘이 커져서, 힘이 일정하지 않거든요. 그래서 가로축을 늘어난 길이, 세로축을 필요한 힘으로 놓고 그래프를 그려봐요. F = kx라 원점에서 출발하는 직선이 되고, 일은 이 그래프 아래의 넓이와 같아요.
x까지 늘렸을 때 그래프 아래는 밑변이 x, 높이가 kx인 삼각형이에요. 넓이는 ½ × x × kx = ½kx²이 나와요. 힘이 0에서 kx까지 고르게 커지니 평균 힘 kx/2에 거리 x를 곱했다고 봐도 같은 결과예요. 적분으로 쓰면 kx를 0부터 x까지 적분하는 계산이 되고요.
x가 제곱으로 들어가는 이유도 여기서 보여요. 두 배로 늘리면 필요한 힘도 두 배, 이동 거리도 두 배라서 저장되는 에너지는 네 배가 돼요. 압축할 때도 x²이라 부호와 상관없이 같은 식이 성립해요 :)