안녕하세요. 이수민 전문가입니다.
이차함수 f(x)=2(x-2)²-8+2a의 꼭짓점은 x=2에 있어요. 이 꼭짓점이 바로 포물선에서 가장 낮은 지점이에요. 그런데 문제에서는 x의 범위가 x≤a로 제한돼 있어서, 꼭짓점 x=2가 이 범위 안에 있는지 없는지에 따라 최솟값이 나오는 위치가 달라져요.
만약 a가 2보다 작다면, x=2는 범위 밖이라 꼭짓점을 쓸 수 없어요. 이때는 범위의 오른쪽 끝인 x=a가 가장 낮은 지점이 돼서 거기서 최솟값이 나와요. 반대로 a가 2보다 크거나 같다면, 꼭짓점 x=2가 범위 안에 포함되니까 꼭짓점에서 최솟값이 나와요.
즉 a 값이 어디 있느냐에 따라 최솟값을 계산하는 식 자체가 달라지기 때문에 두 경우로 나눠서 각각 풀어야 하는 거예요. 둘 중 어느 경우인지 미리 알 수 없으니 양쪽 다 구해보고 조건에 맞는 a를 모두 찾아 더한 게 정답이랍니다 :)