근로계약서 작성하지 않고 계약기간 연장관련

안녕하세요.

현재 근무중인 직장 A에 4개월 계약직으로 입사했으며, 10월 25일날 계약만료로 퇴사예정입니다.

회사측에서 오늘 혹시 10월 31일까지, 약 1주일정도만 더 근무가 가능한지 제의가 왔습니다. 딱히 문제될것이 없어서, 저는 그럼 31일까지 근무하고 퇴사하는것으로 합의했습니다. 다만, 제가 근로계약서를 다시 쓰자고 요청했으나, 회사는 어차피 1주일 짧은기간 연장인데, 쓸 필요가 없고 법적으로도 문제되지 않는다고 주장합니다.

해당 직장에서 퇴사 후 바로 실업급여 수령예정이라, 고용보험 관련해서도 민감하고, 평소 해당 직장이 근로기준법을 교모하게 빠져나가려는(추가수당 미지급) 행동을 과거에도 여러번 보여줘서 신뢰가 없기 때문에 문의드립니다.

단 1일이라도 연장시 원칙적으로 근로계약서 다시 작성이 맞는지 확인 부탁드리며, 혹시라도 1주일 정도 짧은 기간일지라도 근로계약서를 작성하지 않고 근무했을시 저에게 어떤 리스크가 있을지 문의드립니다.