학문
수학 적분하는 법 기초적인 질문드립니다.
응용역학 공부하다가 갑자기 적분쓸 일이 오랫만에 생겼는데, 기억이 잘안나네요......
사진의 ㄱ식과 ㄴ식에 오류가 있나요?
1개의 답변이 있어요!
안녕하세요. 이수민 전문가입니다.
사진의 두 식 모두 오류가 있어요. 근본 원인은 같은데, f(x)를 적분할 때 마치 f(x)가 상수인 것처럼 다뤘다는 거예요. 하나씩 짚어드릴게요.
핵심부터 말하면, 적분에서 f(x)의 부정적분은 f(x) 곱하기 x가 아니에요. 사진에서는 ∫f(x)dx를 f(x)·x + C로 적었는데, 이건 f(x)가 x와 무관한 상수일 때만 성립하는 거예요. 예를 들어 상수 3을 적분하면 3x가 되는 것처럼요. 그런데 f(x)는 x에 따라 변하는 함수니까 단순히 x를 곱하면 안 돼요. 만약 f(x)·x를 다시 미분해보면, 곱의 미분법칙 때문에 f(x) + x·f'(x)가 나와요. 원래의 f(x)로 돌아오지 않죠. 그러니까 f(x)·x는 f(x)의 부정적분이 될 수 없는 거예요.
ㄱ식을 보면 ∫f(x)dx를 0부터 1까지 적분한 걸 f(x)·x 형태로 계산했는데, 이 출발 자체가 틀렸어요. 정적분의 정의상 0부터 1까지 f(x)를 적분한 값은 f(1)이 아니에요. f(1)은 그냥 함수에 1을 넣은 값이지 넓이가 아니거든요. 적분 결과와 함수값을 혼동한 거예요.
ㄴ식도 같은 문제예요. 0부터 x까지 f(t)dt를 적분한 걸 f(x)·x로 적었는데, 이것도 성립하지 않아요. 다만 ㄴ식은 미적분의 기본정리와 관련해서 짚어볼 게 있어요. 0부터 x까지 f(t)dt를 x로 미분하면 그 결과가 f(x)가 된다는 게 기본정리거든요. 적분한 것 자체가 f(x)·x가 되는 게 아니라, 적분한 함수를 미분했을 때 f(x)가 나오는 관계예요. 사진은 이 둘을 뒤섞은 것 같아요.
올바른 형태를 잡아드리면 이래요. f(x)의 부정적분을 대문자 F(x)라고 하면, F는 미분했을 때 f가 되는 함수예요. 그러면 0부터 1까지의 정적분은 F(1) 빼기 F(0)이고, 0부터 x까지의 정적분은 F(x) 빼기 F(0)이에요. 여기서 F(x)는 f(x)에 x를 곱한 게 아니라, f를 적분해서 새로 얻은 함수라는 게 핵심이에요.
응용역학에서 자주 나오는 예로 확인해볼게요. 만약 f(x)가 x라면, 이걸 0부터 1까지 적분하면 2분의 1 x제곱에 1과 0을 넣어 뺀 2분의 1이 나와요. 그런데 사진 방식대로 f(1)을 답으로 하면 1이 되니까 전혀 다른 값이죠. 이렇게 구체적인 함수를 하나 넣어보면 식이 틀렸다는 게 바로 드러나요.
오랜만에 적분을 쓰시면 부정적분이 단순히 x를 곱하는 게 아니라 차수가 올라가는 새로운 함수를 만드는 과정이라는 걸 떠올리시면 돼요. :)