외국인 신분 친구의 전세집 전입 신고 문제/외국인 단기임대 계약 시 전입신고 불가 문제

한국인이지만 외국 국적을 가진 친구가 제가 살고 있는 전세집으로 전입신고를 부탁했습니다.

찾아보니 '법적으로' 문제가 되는 부분은 없어 보이는데, 외국인인 점, 제 집이 아니라는 점에서 조금 껄끄러운 부분이 있어 혹시 문제가 될 소지가 있는지 궁금합니다. (이 경우 서류로 "거주 확인서"를 제가 작성해서 제공하는게 맞나요?)

별개의 이야기로, (외국인)친구가 다른 집의 단기임대 계약을 하고자 하는데 전입 신고(=외국인 체류지 변경 신고)가 불가능한 곳이라고 합니다. 이럴 경우 단기 (임대차) 계약 자체가 가능한건가요???

답변 미리 감사드립니다!