애견 미용사고 손해배상에 관한 질문

원장이자 미용사를 겸하는 1인 미용샵에 강아지 미용을 맡겼고 혀가 약간 잘리는 사고가 발생했습니다.

사고에 관해 문자를 나누던 중 기분이 상했는지 미용사 측은 “저도 더이상 좋은 방법으로 진행해 드릴 수 없다. 원한다면 민사로 소송을 하고 대응은 법적으로 해라. 더이상 견주님과 대응하지 않겠다”라는 반응이며 현재 상해를 입은 강아지는 치료 중에 있습니다.

우선 수술비 및 진료비를 청구할 예정인데 이에 응하지 않는다면 경찰에 신고를 해야할지 혹은 민사소송을 해야만 할지. 소송을 하게 된다면 손해배상청구일까요?

현실적인 해결방안 제시해주시면 감사하겠습니다.