안녕하세요. 이수민 전문가입니다.
자기유사성은 같은 규칙을 무한히 반복하는 구조에서 나와요. 프랙탈은 완성된 그림이 아니라 어떤 조작을 계속 되풀이한 결과물이거든요.
간단한 예로 코흐 눈송이가 있어요. 선분 하나를 셋으로 나눠 가운데를 삼각형으로 튀어나오게 바꾸는 규칙인데, 이걸 새로 생긴 모든 선분에 또 적용해요. 무한히 반복하면 어느 부분을 확대해도 처음과 똑같은 모양이 나와요. 규칙이 크기를 가리지 않고 적용됐으니 결과도 크기와 무관한 구조가 되는 거예요. 시에르핀스키 삼각형도 삼각형 가운데를 파내는 규칙을 반복한 것이고요.
만델브로 집합은 조금 달라요. 여기서는 복소수 하나를 골라 제곱해서 원래 수를 더하는 계산을 계속 반복해요. 그 값이 무한히 커지지 않고 머무는 점들을 모으면 그 유명한 모양이 나와요. 이 경우는 규칙이 도형을 복제하는 게 아니라 계산의 반복인데, 그 계산 자체가 제곱이라는 스케일 변환을 품고 있어서 결과에 크기를 넘나드는 구조가 생겨요. 그래서 확대해도 비슷한 형태가 계속 나타나고, 흥미롭게도 완전히 똑같지는 않고 조금씩 변형된 모습이 나와요. 이걸 준자기유사성이라고 불러요.
자연에서 프랙탈이 흔한 것도 같은 원리예요. 나뭇가지가 갈라지고 그 가지가 또 같은 방식으로 갈라지고, 혈관과 폐포, 번개, 해안선이 모두 같은 규칙의 반복으로 자라요. 성장 규칙이 단순하고 크기에 무관하면 결과는 자연스럽게 프랙탈이 되는 거예요 :)