점심시간의 당직 보상 받는 방법 없을까요?

시, 구에서 인건비지원을 받는 비영리 기관에서 근무중입니다.

저희 기관은 1시간의 점심시간 당직을 직원들이 돌아가면서 하고 있는데 아무 보상이 없습니다.

근로기준법상 4시간 근무시 30분 휴게시간을 줘야해서 8시간 근로시 점심시간에 대한 보상은 불가하다는 입장이고

구에 문의를 했는데 업무시간 중간이라 시간외근로로 예산도 안잡혀 있고 지원이 어렵다는 답변을 받았습니다.

시간외 근로도 안되고 탄력근무(1시간 일찍 퇴근이나 1시간 늦게 출근)도 안되고 방법이 없나요?