이 사례의 경우 어느 수당에 해당이 될까요?

근로자가 근태가 좋지 않아 근무 2개월 차쯤에 그만 나오라고 했는데, 근로계약서를 작성하지 않았다는 허점을 이용하여 노동청에 신고를 했습니다. 노동청에서는 어차피 부당해고로 처리가 될 것 같다면서 2개월치 급여를 주라고 하였고 급여를 지급했습니다.

이 경우 30일 전에 해고 통보를 하지 않은 경우이기에 '해고예고수당'으로 보고 2개월치 급여를 '퇴직소득'으로 처리해도 될까요?