근로자가 사용자에게 퇴직의 의사표시(사표제출)를 행한 경우 사용자가 이를 수리하였거나 또는 당사자간에 계약종료시기에 관한 특약(단체협약, 취업규칙 및 근로계약 등)이 있을 시라면 각각 그 시기(사표 수리한 시기 또는 특약에 의한 시기)에 계약해지의 효력이 발생할 것입니다.
질문자님의 경우 사직서 등을 사용자가 수리하지 않았고 월급제에 해당한다면 사용자가 근로자의 퇴직의 의사를 통고받은 당기후의 1지급기를 경과한 시에 계약해지의 효력이 발생합니다.(민법 제660조 제3항)
8월 10일에 사직서를 제출하였다면
1) 8월 1일부터 31일까지의 기간이 당기 이며 2) 9월 1일부터 말일까지의 기간이 당기 후 1기 3) 당기 후 1기를 경과한 10월1일에 사직서가 자동적으로 수리되고 근로계약이 해지됩니다.