이직 할 때 고용보험 중복 여부를 회사가 알 수 있나요?

2달 된 신입인데 원치않은 부서로 좌천을 당해서 수습기간이 3개월이라 그전에 이직을 하려고 합니다.

근데 회사가 일처리가 너무 늦어서 사직서 쓰고 당일 퇴사 한다 해도 퇴직처리는 늦게 해줄 것 같은데 이럴 경우 새로 이직하는 회사에서 제가 이직한 사실을 알 수 있을가요?