육아휴직 신청시 대체인력이 안구해지면 육아휴직을 못 쓰나요?

4월 1일에 육아휴직을 신청서를 제출해서 5월 1일부터 10개월 동안 휴직을 하기로 했어요.

4월 10일경 구인이 되지 않는다며 조금 더 말미를 달라셔서 5월 15일까지 근무하기로 하였습니다.

내일 모레가 마지막 근무라 인사를 드렸더니 대체인력이 구해지지 않은 상태에서 휴직을 줄 수 없다 하시네요. 백방으로 사람을 구하고 있으나 구인이 되지 않는 상태에서 휴직은 안된다고요.

어떻게 해야 하나요?

계약직 문의가 없다 하시니 정규직으로 구하시고 육아휴직 쓰고 퇴사하겠다 해도 되는건가요?