사장님의 허락을 받은 투잡은 법적으로 금지되지 않으며 근로시간 제한 규정은 사업장별로 적용되므로 서로 다른 사업주라면 근로시간을 합산하여 처벌하지 않습니다. 따라서 본업과 알바 시간을 합쳐 주 52시간이 넘는다는 이유만으로 질문자님이 불법 행위자가 되지는 않으므로 안심하셔도 됩니다.
네, 승인을 받았더라도 이와 별개로 투잡으로 인해 회사에 막대한 손해가 발생한 때는 징계대상이 될 수 있으며 민사상 손해배상 책임도 질 수 있습니다. 다만, 경쟁업체에 취업하지 않는한 그러한 상황은 발생하기 어려우니 회사의 승인을 얻고 투잡을 한 것이라면 걱정하지 않으셔도 됩니다.