근로계약서에 퇴사 한달전에 말해야 한다는 내용이 없는데 꼭 한달을 지켜야 하나요?

지금 직장에서 일을 하기 시작한지 8개월 정도 되었습니다.

건강문제로 6월 5일 인사담당자님께 6월 18일 까지 근무를 하겠다고 말씀을 드렸지만

6월 5일 기준 한달간 근무를 해야 한다고 하셨습니다.

6월 11일 퇴사일자에 대하여 이야기를 했지만 합의가 이루어지지 않았습니다.

그런데 이날 싸인 하라고 사직서를 주셨는데 사직일 6월 11일로 되어 있습니다.

제가 이 사직서에 싸인을 해서 제출하고 6월 18일을 마지막으로 더이상 나가지 않아도 문제가 없을까요?