계약직 계약만료 후 2개월 추가 근무 어떻게 하면 좋나요?

계약직 6월 30일 1년 계약만료 후 실업급여 신청하려고 합니다. 대학원 준비로 시간이 필요하여 계약기간까지만 일을 할 수 있다 말씀을 드려서 그렇게 마무리를 하려고 하는데요. 다만 2개월정도만 추가적으로 근무를 해달라고 하는상황인데 실업급여 수급에 문제가 없으려면 어떻게 해야하나요?

2개월정도만 알바처럼 근로계약서를 다시 작성하면 될까요?

계약 만료가 될 에정이나 관계가 나쁘지 않기에 회사에서 원하는 방향이 있으면 제가 실업급여를 받을 수 있는 한해서 요청을 수락하고 싶은 상황입니다.