계약직 2년 기간 도래 전에 무기계약직 전환 가능한가요?

회사 채용 관련 업무를 담당하고 있습니다.

계약직 2년 후에 보통 심의를 거쳐 무기계약직 전환을 결정하게 되는데, 혹시 2년 기간 초과 전에 회사에서 무기계약직으로 전환 해주겠다고 하면 노무적인 문제없이 전환이 가능한가요?

그리고 이때 계약서를 다시 작성해야하는건가요? 본 회사는 무기직 전환이 되더라도 매년 평가를 통해 계약서를 작성하고 따로 무지직이라는 문구가 들어가 있지는 않습니다(이 부분도 노무적으로 잘못된건지 상관없는건 궁금).

그리고 마지막으로 회사에서 처음 공고때부터 계약직 티오가 아니라 무기직으로 자리라고 하고 채용을 해도 되는건지 문의드립니다.